Плотность распределения

Непрерывную двумерную величину можно также задать, пользуясь плотностью распределения. Здесь и далее будем предполагать, что функция распределения F (x, у) всюду непрерывна и имеет всюду (за исключением, быть может, конечного числа кривых) непрерывную частную производную второго порядка.

Плотностью совместного распределения вероятностей f (x,у) двумерной непрерывной случайной величины (X,Y) называют вторую смешанную частную производную от функции распределения:

f(x,у) = .

Геометрически эту функцию можно истолковать как по­верхность, которую называют поверхностью распределения.

Зная плотность совместного распределения f(x,у), можно найти функцию распределения F (x, у) по формуле

F (x, у) = ,

что непосредственно следует из определения плотности распределения двумерной непрерывной случайной вели­чины (X,Y).

Вероятность попадания случайной точки (X;Y) в прямоугольник ABCD равна

Обозначив для краткости левую часть равенства и применив к правой части теорему Лагранжа, получим:

,

где , , , .

Приняв во внимание, что произведение равно площади прямоугольника ABCD, заключаем: есть отношение вероятности попадания случайной точ­ки в прямоугольник ABCD к площади этого прямо­угольника. Так как при при

Итак, функцию можно рассматривать как пре­дел отношения вероятности попадания случайной точки в прямоугольник (со сторонами и ) к площади этого прямоугольника, когда обе стороны прямоугольника стре­мятся к нулю.

Вероятность попадания случайной точки в произвольную область равна

.