Где t, н tj - время сборки на первом и втором этапах соответственно

На другой фабрике специальные коробочки заполняются апельсиновым соком. Затем, взятые наугад четыре коробочки, объединяются в упаковку. Если обозначить вес каждой коробочки — w, а вес упаковки — Т, то:

Т = w, + Wj + w₃ + w₄.

Пока нас не интересует тип распределения исходных случайных величин. При условии, что случайные величины не зависимы друг от друга, мы можем вывести формулы средней и дисперсии объединенной случайной величины. Итак, если значения двух не зависимых друг от друга случайных величин обозначить х и у, то значение объединенной случайной величины z будет:

z = х + у.

Вне зависимости от типа распределения х и у среднее z есть сумма средних хну:

ц,-ц_х + ц_у.

То же соотношение для дисперсий:

Дне (z) = Дис (х)+Дис (у).

Гл. 2. Вероятностные распределения 71

Следует отметить, что стандартные отклонения не суммируются, суммируются только дисперсии.

П Пример 2.17. Ежедневный спрос на товар — 100 единиц, стандартное откло­нение — 12 единиц в день. Используя данные средних продаж за день, вычислите среднее количество товара, продаваемое за неделю.

Решение

Так как проданное за день количество товара не зависит от предыдущих дней, то общее количество товара, проданное за семь дней рассчитывается как:

Средний недельный спрос = 7 дней х 100 = 700 ед. в неделю.

Для того, чтобы рассчитать стандартное отклонение для недельных данных, сначала вычислим дисперсию. Для дневного спроса дисперсия равна 12 = 144. Для не дельного спроса: 7x12 - 7 х 144; следовательно, стандартное отклонение равно: V 7 х 144 «31,75 ед./в неделю.

Может потребоваться формирование новой случайной величины z как разности исходных случайных величин х и у. Порядок действий остается тем же самым, что в случае суммирования. Если мы имеем две независимые случайные величины х и у, тогда:

г = х - у.

Вне зависимости от типа распределения х и у среднее г есть разность средних х и у:

И1-ЙХ-М,- Однако дисперсия z равна сумме дисперсий х и у: Дис {г) = Дне (х) + Дне (у).

□ Пример 2.18. На лесопилке из готовых досок (L1), средняя длина которых 200 см, а стандартное отклонение — 1,7 см, делают доски (L2) со средней длиной 70 см и стандартным отклонением 0,3 см. Каково среднее и стандартное отклонение обрезков (L3)?

Решение

Исходная длина и длина обрезка не зависят друг от друга, т.е.:

Средняя длина = Среднее (L1) - Среднее (L2) = 200 - 70 = 130 см. Дисперсия = Дис (L1) + Дис (L2) = 1,7 ² + 0,3 ² = 2,98.

Следовательно, стандартное отклонение (L3) - -V2,98 = 1,73 см.

Независимо от того, складываем мы случайные величины или вычитаем, их дисперсии складываются.

Рассмотренные выше формулы могут быть применены к любому количеству независимых случайных величин. Мы не будем рассматривать ситуацию, когда случайные величины зависимы, кроме одного случая, приведенного ниже.

72 Ч. 1. Принятие решений в условиях недостатка информации