2015-06-24
354
К числу распространённых относятся метод Гаусса и его модификация, называемая методом Жордана – Гаусса.
Метод Гаусса. Центральной частью данного метода является процедура приведения исходной системы уравнения к треугольному, в общем случае, трапецеидальному, виду. Это осуществляется путём эквивалентных преобразований системы в следующей последовательности.
Шаг 1. В левой части первого уравнения выбирается отличный от нуля коэффициент, который называется ведущим или определяющим. Пусть это 
, в противном случае добьемся этого, переставив столбцы и перенумеровав неизвестные. После этого разделим первое уравнение на ведущий элемент
.
Шаг 2. Вычтем почленно из второго уравнения первое, умноженное на 
, далее, из третьего первое, умноженное на 
и т.д., наконец из n-го,- первое, умноженное на 
. В результате этого получим
.
Шаг 3. Первое уравнение оставим неизменным, а во втором,- выберем ведущий элемент, пусть это 
и разделим на него второе уравнение.
Шаг 4. Из третьего и всех последующих уравнений, описанным выше способом, исключим переменную х2.
Далее, поступая таким же образом с третьим и остальными уравнениями за конечное число шагов приведём систему к треугольному виду
(3.2)
если решение единственно, или к трапецеидальному, если решений бесконечно много. Если же на каком-то шаге одно из уравнений примет вид 
, то это означает несовместимость исходной системы уравнений.
Описанный процесс преобразования системы называется прямым ходом. Предположим, что в результате выполнения прямого хода система приведена к виду (3.2). В этом случае из последнего уравнения определяется значение 
. Оно подставляется в предыдущее, из которого находится 
. Найденные значения , подставляются в (n -2)-е уравнение, из которого находится 
. Далее, действуя аналогичным образом, из (n -3)-го уравнения определяется значение 
, из (n -4)-го, - 
и, наконец, из первого – значение 
. Процесс последовательного нахождения 
из системы (3.2) называется обратным ходом.
С целью снижения влияния погрешностей округления, возникающих при выполнении вычислений, в качестве ведущего рекомендуется выбирать наибольший по модулю элементы левой части уравнения. Действительно, в этом случае коэффициенты 
системы (3.2) по модулю не превышают единицу и частичные погрешности значения xi, обусловленные ошибками 
значений xm
не превышает величины 
, т.е. не возрастают.
Метод Жордана -Гаусса. Совмещает выполнение прямого и обратного ходов метода Гаусса. Реализуется следующим образом.
Шаг 1, 2, 3. Совпадают с первыми шагами метода Гаусса.
Шаг 4. С помощью второго уравнения переменная 
удаляется не только из последующих, но и из предыдущего, т.е. первого уравнения. В результате этого система принимает вид
.
Далее, рассматривается третье уравнение и с его помощью описанным образом исключается переменная 
из всех остальных уравнений. Поступая также с каждым следующим уравнением, и проводя, быть может, переобозначение неизвестных, за конечное число шагов система приводится к виду
.
Столбец правых частей и представляет собой решение системы уравнений.
Сравнительный анализ. С точки зрения трудоёмкости вычислений оба метода практически эквивалентны. Так, для реализации метода Гаусса необходимо 
арифметических операций, для выполнения метода Жордана-Гаусса,- 
.???
Вместе с тем, в литературе отмечается интересная особенность метода Жордана-Гаусса. А именно, если внести некоторые изменения в порядок его выполнения, то можно достичь существенного снижения необходимого объёма оперативной памяти. Так, рассматривая второе уравнение, использовать первое для исключения в нем переменной х1, после чего использовать модифицированное второе для исключения переменной х2 из первого уравнения. Далее, при рассмотрении третьего уравнения использовать первые два для исключения в них переменных х1, х2, после чего использовать третье для исключения из первых двух переменных х3. И так далее. При такой организации вычислений на каждом шаге в работе участвует не вся система, а только её часть. Показано, что при равных объёмах используемой оперативной памяти это позволяет примерно в два раза, по сравнению с методом Гаусса, повысить порядок решаемой системы.
Замечание. К числу точных относятся и методы, основанные на разложении матрицы А левой части системы (3.11) в виде произведения двух треугольных матриц В и С, т.е. А=ВС, где
, 
.
В этом случае система принимает вид
BСХ=b,
и, обозначив Y=CX, вместо системы (3.11), имеем две системы уравнений с треугольными матрицами
BY=b
CX=Y.
Центральным моментом таких методов является реализация указанного разложения матрицы А. Показано, что для симметрических и невырожденных матриц такие процедуры существуют.
