Предполагается, что система уравнений представлена в виде
, (5.1)
где , - непрерывно дифференцируемые функции переменных в области D, содержащей решение системы (5.1). Обозначив через и , систему (5.1) можно представить в более удобном для изложения виде
.
Пусть , - некоторое приближение к искомому решению. Тогда вычислительный процесс, организуемый по формуле
, (5.2)
где к = 0, 1, 2, … называется методом итераций. Если при вычислении очередной координаты к+1 – го приближения использовать вычисленные перед этим значения предыдущих координат этого же приближения, получим модификацию, называемую методом Зейделя. В ней алгоритм вычислений описывается следующим образом
.
При определенных условиях метод итераций (5.2) сходится к точному решению системы (5.1). Установим эти условия, используя, как и выше, понятие сжимающего отображения.
В n -мерном пространстве набор функций определяет некоторое непрерывно дифференцируемое отображение. Выше (см. Лекция 3) было показано, что сходимость итерационной последовательности обеспечивается сходимостью образующего ее отображения.
|
|
Пусть - произвольные точки , оценим . Предположим, что величина достаточно мала и в тейлоровских разложениях функций в точке позволительно ограничиться величинами первого порядка малости. Тогда
,
где
, (5.3)
- матрица Якоби системы функций .
Если в области D, отображение является сжимающим и есть основания считать, что итерационный процесс (5.2) сходится к решению системы (5.1). Более определенно это формулируется в виде следующей теоремы:
Пусть в области D система (5.1) имеет, по крайней мере, одно решение, принадлежащее ее внутренней части и норма якобиевой матрицы в замыкании области D меньше единицы. То есть, такое , что . Тогда в области D система (5.1) имеет решение и итерационный процесс (5.2) сходится к одному из решений при любом
выборе начального приближения .
Погрешность к -го приближения, как и ранее (см. Лекция 3), можно оценить соотношением
.
Замечание. Нередко исходная система уравнений бывает представленной в неявной форме
, (5.4)
где якобиан системы
.
Тогда для приведения (5.4) к виду (5.1), обеспечивающему сходимость, можно использовать соображения, аналогичные высказанным выше (см. Лекция 4). А именно, умножим обе части (5.4) на некоторую неособенную квадратную матрицу А
,
прибавим, далее к обеим частям х
,
обозначим
и потребуем, чтобы
.
Из этого соотношения можно определить коэффициенты матрицы А. Если это сделать затруднительно для всей области D, то указанную операцию можно производить пошагово на каждом шаге итерационного процесса.
|
|
Поясним это на примере двух уравнений
.
Обозначим
.
Тогда система (5.1) принимает вид
.
Отсюда
.
Зададим далее, и потребуем, чтобы
.
Отсюда, по правилу Крамера, например,
,
.
Аналогичным образом, потребовав
Найдем с и d.
Проводя указанные преобразования на каждом шаге итерационного процесса, тем самым создаем условия для сходимости его со скоростью в целом.