2015-06-24
998
Определим основные понятия "прямая", "плоскость"; основное отношение "лежит между", понятия: "луч", "полуплоскость" и др. и рассмотрим некоторые их свойства.
Прямая.
Определение [3.1]. Прямой с начальной точкой 
и направляющим вектором 
) называется множество всех таких точек 
пространства 
, что 
, 
.
Из определения следует:
1) прямая имеет бесконечное множество точек;
2) любая точка прямой может быть взята за начальную;
3) в качестве направляющего вектора может быть взят любой другой ненулевой вектор, коллинеарный вектору .
Теорема [3.1]. Через всякие две точки проходит одна и только одна прямая.
Плоскость.
Определение [3.2]. Плоскостью с начальной точкой и направляющими векторами и 
(
) называется множество всех таких точек пространства , что 
, 
.
Плоскость обладает следующими свойствами:
1) плоскость имеет бесконечное множество точек;
2) любая точка плоскости может быть взята за начальную;
3) в качестве направляющих векторов плоскости можно взять любые два неколлинеарных вектора, которые являются линейными комбинациями векторов и , т. е. принадлежат линейной оболочке, натянутой на векторы и .
|
|
|
Теорема [3.2]. Через любые три неколлинеарные точки проходит одна и только одна плоскость.
Теорема [3.3]. Если две точки и 
прямой 
принадлежат плоскости 
, то каждая точка прямой лежит в плоскости .
Отношение "лежит между".
Определение [3.3]. Будем говорить, что точка лежит между точками и 
, и обозначать 
, если 
и 
.
Рассмотрим некоторые свойства.
1. Если , то , , — три различные точки, лежащие на одной прямой.
2. Если , то 
.
Понятия "отрезок", "луч".
Определение [3.4]. Отрезком 
называется объединение точек и со множеством всех точек , лежащих между и .
Таким образом, отрезок 
.
Определение [3.5]. Лучом 
называется объединение отрезка со множеством всех таких точек , что точка лежит между и .
Очевидно, луч 
.
Если 
, то луч называется открытым.
Теорема [3.4]. Пусть имеется прямая и точка 
. Точка 
разбивает множество всех точек прямой , отличных от точки , на два непустых подмножества так, что:
1) если две точки принадлежат одному и тому же подмножеству, то одна из них лежит между точкой и другой точкой;
2) если две точки принадлежат различным подмножествам, то точка лежит между этими точками. 
Полуплоскость.
Определение [3.6]. Пусть имеется плоскость и прямая , принадлежащая этой плоскости. Будем говорить, что точки и плоскости , отличные от точек прямой , лежат по одну сторону от прямой , если отрезок 
не пересекает прямую и лежат по разные стороны от прямой , если отрезок пересекает эту прямую.
Теорема [3.5]. Пусть имеются плоскость и прямая 
. Прямая разбивает множество всех точек плоскости , не лежащих на прямой , на два непустых подмножества так, что:
|
|
|
1) если две точки принадлежат одному подмножеству, то они лежат по одну сторону от прямой ;
2) если две точки принадлежат различным подмножествам, то они лежат по разные стороны от прямой .
Каждое из подмножеств 
и 
называется открытой полуплоскостью с границей . Объединение открытой полуплоскости с ее границей называется полуплоскостью.
Таким образом, всякая прямая разбивает полуплоскость, в которой прямая лежит, на две полуплоскости.
Расстояние.
Определение [3.7]. Расстоянием 
называется длина вектора 
, т. е.
(3.9)
Теорема [3.6]. Расстояние обладает следующими свойствами:
. 
, при этом 
.
. 
.
. (
) 
|AB|+|BC||AC| 
Параллельность.
Определение [3.8]. Прямая называется параллельной прямой 
, если направляющий вектор прямой коллинеарен направляющему вектору прямой .
Так как коллинеарность векторов является отношением эквивалентности, то и параллельность прямых обладает свойствами рефлексивности, симметричности и транзитивности.
Обозначение: 
— и параллельные прямые.
Теорема [3.7]. В плоскости через точку, не лежащую на данной прямой, проходит не более одной прямой, параллельной данной.
