Понятие функции комплексной переменной. Непрерывность функции комплексной переменной

Пусть на комплексной плоскости задано множество E и закон, ставящий " zÎ E в соответствие определенное комплексное число w: z w, тогда говорят, что на E задана функция комплексной переменной f(z)=w. E- множество задания (z);
Множество M - значений соответствующих w- множество значений f(z). Задание f(z) есть задание соответствия (отображения) E M.

Примеры. а) w=az+b (поворот, растяжение и параллельный перенос),
б)w=zⁿ, в) w=1/z (симметричное отражение относительно вещественной оси, инверсия).

Определение. Областью g комплексной плоскости Z называется множество точек этой плоскости, удовлетворяющее условиям:
1)Все zÎ g являются внутренними точками g.
2)Любые z₁, z₂ Î g можно соединить ломаной с конечным числом звеньев, состоящих только из zÎ g.
Примеры. а) |z|<1 - область; б) |z| 1-не область; в) {z: |z|<1}È {z: |z-5i|<1} не область;

Таким образом, в определении области условие
1) означает, что g- открытое множество.
2) означает, что g- связное множество.
Итак, область - открытое связное множество.

Определение. Точка z₀ называется внутренней точкой множества g, если $ e -окрестность точки z₀ : ïz-z₀ï<e все точки которой принадлежат g.
Примеры. а) z=0 - внутренняя точка множества |z|<1; б) z=i - не является внутренней точкой множества |z| 1.

Определение. Точка z₀ называется граничной точкой множества g, если в " ее e -окрестности имеются как zÎ g, так и zÏ g.
Примеры. а) z=0 - граничная точка множества |z|>0; б) z=i - граничная точка множества |z| 1.
Совокупность граничных точек области g называется границей области g. (обозначения: , C, G, S и т.д.)
Граница множества может состоять из конечного числа точек, и даже из одной точки (как, например, у множества |z|>0).

Определение. Замыкание области g, состоящее в присоединении к g ее границы g называется замкнутой областью =g+ .
Множество |z| 1 - замкнутое.
На р асширенной комплексной плоскости (т.е. комплексной плоскости с бесконечно удаленной точкой замкнутое множество называется компактным.
Итак, будем рассматривать случай, когда w=f(z) задана в g и отображает g на область D комплексной плоскости w.
Отображение однозначно (по определению.
Если z₁, z₂ Î g и z₁ z₂: f(z₁)=w₁ w₂= f(z₂), то отображение взаимно однозначно
g<=>D.
В этом случае g называется областью однолистности f(z) и f(z) называется однолистной в g.
Примеры. а) w=const, w=az+b -однозначные и однолистные; б) w=zⁿ, w=e^z- однозначные, но не однолистные; в) w=Ln z╨ |z|+i Arg(z), w= - не однозначный функции.

Определение. (по Гейне) Комплексное число w₀ называется пределом f(z), zÎ g, в точке z₀Îg, если для " {z_n} z₀ соответствующая последовательность {f(z_n)} w₀.
Замечание. Предполагается, что z₀ является точкой сгущения (предельной точкой множества g.
Определение. Точка z₀Î g называется точкой сгущения (предельной точкой) множества g, если в " e - окрестности точки z₀ содержатся точки множества g, отличные от z₀.
Определение 2. (по Коши) Комплексное число w₀ называется пределом f(z), zÎ g, в точке z₀Îg, если для "e >0 $d (e,z₀)>0: | f(z)-w₀ |<e, как только 0<| z-z₀|<d
Обозначение: f(z)= w₀.
Замечание. Это определение имеет смысл лишь при конечных значениях z₀ и w₀ в отличие от определения предела по Гейне.

Определение непрерывности f(z) в точке z₀. Функция комплексной переменной f(z), zÎ g, называется непрерывнойв точке z₀Î g, если $ ограниченный предел:
f(z)= w₀ и w₀= f(z₀), т.е. f(z)= f(z₀).
Очевидно, при этом достаточно малая d - окрестность точки z₀ отображается f(z) на достаточно малую e - окрестность точки w₀= f(z₀).
Определение непрерывности функции в точке в терминах e -d. Функция комплексной переменной f(z), zÎ g, называется непрерывнойв точке z₀Î g, если
" e >0 $d (e,z₀)>0: для " z: |z-z₀|<d; |f(z)-f(z₀)| <e.
Замечание 1. Это определение распространяется как на внутренние, так и на граничные точки множества.
Определение. Точка z₀ называется изолированной точкой множества g, если в $ такая ее e -окрестность, в которой нет других точек множества g.
Замечание 2. По определению функция считается непрерывной в изолированной точке z₀Î g.
Замечание 3. Понятие непрерывности функции f(z), zÎ g, в точке z₀Î g справедливо и в случае бесконечно удаленной точки z₀= .
При этом под пределом функции f(z) при z по Гейне надо понимать предел последовательности {f(z_n)}, где {z_n}- " неограниченно возрастающая последовательность.
В e -d определении непрерывности функции f(z) при z условие ╫ z-z₀╫<d надо заменить на условие |z| >R.
Примеры: а) функции w=az+b, w=z^*, w=const, w=Re z, w=zⁿ, w=|z| - являются непрерывными на всей комплексной плоскости.
б) функция w=arg(z) является непрерывной нам всей комплексной плоскости, за исключением точек z=0, z= , и точек, лежащей на положительной части действительной полуоси.
Основное определение. Функция комплексной переменной f(z), zÎ g, называется непрерывнойв области g, если она непрерывна в " zÎ g.
Обозначение: f(z)Î C(g).
Аналогично определяются понятия f(z)Î C(), и f(z)Î C(). При этом при определении непрерывности по Гейне в zÎ или zÎ надо рассматривать последовательности {z_n}, состоящие только из точек z_nÎ или z_nÎ .
Замечание 4. В случае понятия непрерывности по Коши для f(z)Î C(g) для заданного e d зависит от (e,z) (d =d (e,z)), т.е. на e - окрестность " точки w=f(z)Î D отображается d -окрестность соответствующей точки z, где d для различных z- различна. Более тонкое понятие равномерной непрерывности в g.

Определение. Функция комплексной переменной f(z), z g, называется равномерно непрерывной вg, если для "e>0 $d (e)>0 (зависящее только от e): такое, что для
"z₁, z₂ g: | z₁-z₂ |<d; | f(z₁)-f(z₂)| <e.
Любые d - близкие точки области g отображаются на соответствующие e-близкие точки области D.
Очевидно, что из равномерной непрерывности в g следует f(z)?С(g).
Обратное, вообще говоря, не всегда верно.
Определение. Множество g называется ограниченным, если оно целиком содержится в некотором круге (т.е. $R>0 и z₀ : g {z: |z-z₀|<R}).

Если компактное множество не содержит бесконечно удаленной точки, то оно ограничено.

Теорема. Если f(z) C() и ограничена то f(z) - равномерно непрерывна в .

Функцию комплексной переменной f(z) можно представить в виде f(z)=u(x,y)+iv(x,y), где u(x,y) и v(x,y)- действительные функции действительных переменных. Тогда справедлива
Теорема. Необходимым и достаточным условием непрерывности f(z) в g (f(z) C(g)) является требование, чтобы u(x,y) и v(x,y) были непрерывны в области g плоскости (x,y) по совокупности переменных.
Данное утверждение является следствием того, что необходимым и достаточным условием сходимости последовательности комплексных чисел является сходимость последовательностей их действительных и мнимых частей.