Обусловленность формул численного дифференцирования

Несмотря на внешнюю простоту формул численного дифференцирования, их применение требует особой осторожности. Так как табличные значения функции непременно содержат ошибки, и эти ошибки являются неустранимыми, они прибавляются к погрешностям аппроксимации. Для уменьшения этой погрешности обычно уменьшают шаг , но именно при малых шагах формулы численного дифференцирования становятся плохо обусловленными и результат их применения может быть полностью искажен неустранимой ошибкой. Важно понимать, что действительная причина этого явления лежит не в несовершенстве методов вычисления производных, а в некорректности самой операции дифференцирования приближенно заданных функций.

Рассмотрим Это полная погрешность, она складывается из погрешности аппроксимации и неустрани-
мой погрешности Пусть Тогда можно оценить следующим образом: Фактически это число будет числом обусловленности формулы (4.1.1), то есть

(4.4.1)

Видно, что при Поэтому, несмотря на то, что погрешность аппроксимации стремится к нулю при , полная погрешность будет неограниченно возрастать. Найдем , при котором Для этого необходимо, чтобы Отсюда

. (4.4.2)

Тогда (4.4.3)

Таким образом, при использовании формул численного дифференцирования необходимо обращать внимание на выбор шага Даже при оптимальном выборе шага полная погрешность является величиной, пропорциональной При формулы для вычисления обладают еще большей чувствительностью к ошибкам задания функций. Поэтому значения производных высокого порядка, найденные с помощью таких формул, могут быть очень неточными.

Пример. Пусть задана на с шагом следующей таблицей:

	0.0	0.2	0.4	0.6	0.8	1.0
	1.00000	1.22140	1.49182	1.82212	2.22554	2.71828

Найдем в узлах таблицы и оценим точность полученных данных. В точках возможно применение только формул для левой и правой разностной производной:

В остальных точках применим формулу (4.1.5), имеющую более высокий порядок точности:

Сведем значения производной в таблицу, подобную исходной таблице задания функции:

	0.0	0.2	0.4	0.6	0.8	1.0
	1.10700	1.22955	1.50180	1.83430	2.24040	2.46370
	-0.10700	-0.00815	-0.00998	-0.01218	-0.01486	0.25458

в данном случае легко вычисляется, так как Погрешности можно было бы вычислить и по приведенным формулам для . Например, в точке