Практические задания
1. Найти область определения функции .
;
Областью определения функции является кольцо, включая границы окружности.
2. Вычислить предел .
Второй замечательный предел
,
.
3. Найти дифференциал второго порядка от функции .
, , ,
, ,
.
4. Вычислить производную функции .
.
5. Найти производную от неявной функции .
, ,
,
.
6. Найти экстремумы функции и построить схематический график.
; ,
; , .
,
,
,
; ,
, .
7. Найти интервалы выпуклости, вогнутости и точки перегиба графика функции: .
; ;
;
;
- точка перегиба
- точка перегиба
8. Найти и исследовать точки разрыва функции:
, в точке скачок.
, в точке - разрыв.
|
9. Найти неопределённый интеграл: .
Найдем неопределенный интеграл методом интегрирования по частям. Используя формулу .
.
10. Вычислить определённый интеграл: .
Вычислим определенный интеграл методом подстановки.
,
,
если , то
если , то
.
11. Вычислить площадь плоской области , ограниченной линиями , , .
|
|
, ,
, , .
, ,
,
Окружность (1;0) с радиусом R=1.
,
,
.
12. Исследовать на сходимость числовой ряд: .
Радикальный признак Коши.
, .
- ряд сходится.
13. Найти область сходимости степенного ряда: .
,
,
,
Пусть , получим ряд .
Исследуем ряд по признаку Лейбница, т.к. он знакочередующийся.
а) по первому признаку Лейбница каждый последующий член ряда по абсолютной величине должен быть меньше предыдущего, т.е. в нашем случае условие не выполняется, так как 3=3=3
б) По второму признаку Лейбница предел ряда должен стремиться к нулю второе условие выполняется. Ряд расходится, значит - точка расходимости.
При получим ряд
- числовой знакоположительный ряд. Исследуем его сходимость при помощи интегрального признака сходимости коши.
Рассмотрим несобственный интеграл:
несобственный интеграл расходится и следовательно расходится и исследуемый ряд.
Значит - точка расходимости.
Степенной ряд , сходится, при .
14. Найти частное решение дифференциального уравнения: при .
,
,
:
.
, ,
- семейство гипербол.
; ,
- частное решение исходного уравнения.
15. Найти длину астроиды: , .
Кривая симметрична относительно обеих осе, следовательно, вычислим длину её четвёртой части, расположенной в I квадрате:
,
,
,
- длина астроиды
- длина дуги кривой, если кривая задана параметрическим уравнением.