Скалярное произведение векторов применяется для нахождения длины вектора, косинуса угла между векторами, проекции одного вектора на направление другого и установления перпендикулярности векторов.
1) или .
2) .
3) .
4) .
● Пример 9. Дано: , , , , .
Найти: а) длину вектора ;
б) значение параметра , при котором векторы и перпендикулярны.
Решение. а)
;
б) .
=
, откуда .
При векторы и перпендикулярны.
● Пример 10. Даны два вектора , , приложенные к одной точке. Найти вектор , перпендикулярный вектору , равный ему по длине, компланарный с векторами , и образующий с вектором острый угол.
Решение. Так как векторы , , компланарны, а векторы и неколлинеарны, то вектор может быть разложен по векторам и . Найдутся такие числа и , что . Тогда . Вектор , поэтому скалярное произведение .
и .
Вектор образует с вектором острый угол, поэтому косинус угла между этими векторами положителен и .
, откуда .
Так как , то и , откуда . Учитывая, что , имеем и . ●