Полученную сумму еще раз разделить на q и к результату приписать запятую и ноль целых

Система счисления

Раздел №1

Система счисления –
это способ представления чисел и правила действий над ними.

• В непозиционных системах счисления значение цифры не зависит от положения в записи числа.

Примером может служить римская система:

I V X L C D M

• 5 10 50 100 500 1000

VI = 5 + 1 = 6;

IV = 5 - 1 = 4;

• Позиционная система счисления - это та, в которой величина, обозначаемая цифрой в записи числа («вес» цифры), зависит от ее позиции в числе.

Алфавит системы счисления - это множество всех символов, используемых для записи чисел в данной системе счисления.

Десятичное число 385,65 в развернутой форме будет выглядеть следующим образом:

385,65 = 3ž10² +8ž10¹ +5¹ž10⁰ + 6ž10¯¹ + 5ž10¯²

Значение числа складывается как сумма цифр, составляющих число, умноженное на основание системы в степени, обозначающей номер позиции этой цифры в числе.

Последовательность степеней основания называют базисом системы счисления.

«Разложить число по базису системы счисления» - т.е. представить число в развернутой форме.

• Пример.

101,01 ₂ = 1 • 2² + 0 • 2 ¹ +1 • 2 ⁰ + 0 • 2 ^¯1 + 1 • 2^{¯ 2};

673,2 ₈ =6ž8 ² + 7ž8 ¹ +3ž8 ⁰ + 2ž8¯ ¹;

15FС ₁₆ = 1ž16 ³ +5ž16 ² + Fž16 ¹ + Сž16 ⁰=

=1ž16 ³ +5ž16 ² +15ž16 ¹ +12ž16 ⁰.

Перевод чисел в десятичную систему счисления

Представление чисел в развернутой форме одновременно является способом перевода чисел в десятичную систему из любой другой позиционной системы счисления. Достаточно подсчитать результат по правилам десятичной арифметики.

• Пример

101,01₂=1ž2²+1ž2⁰+0ž2¯¹+1ž2¯² =4 + 1 + 1/4= 5,25₁₀;

673,2₈=6ž8²+7ž8¹+3ž8⁰+2ž8¯¹= 384+56+3+2ž1/8 =443,25₁₀

15FС₁₆= 1ž16³ +5ž16² + 15ž16¹ + 12ž16⁰ = 5628₁₀.

А q = а _n-1 q ^n-1 + а _n-2 q ^n-2 +… а ₁ q ¹ + а ₀ q ⁰

Пример Найти сумму чисел

111₂ +111₈ +111₁₆.

а) 111₂ = 1 • 2² +1 • 2¹ + 1 • 2⁰ = 4 + 2 + 1 = 7₁₀;

б) 111₈ = 1 • 8² +1 • 8¹ +1 • 8⁰ = 64 + 8 +1 = 73₁₀;

в) 111₁₆ = 1ž16²+1ž16¹ +1ž16⁰=256+16+1 = 273₁₀.

В результате получим:

111₂ +111₈ +111₁₆ = 7 + 73 + 273 = 353₁₀.

Перевод чисел в десятичную систему счисления по схеме Горнера

Аq = ((а _n-1 q + а _n-2 ) q +… + а ₁ ) q+ а ₀

Алгоритм преобразования целых чисел

1. Цифру старшего разряда числа А_q умножить на основание q.

К полученному произведению прибавить цифру следующего разряда числа А _q .

2. Полученную сумму вновь следует умножить на q и вновь прибавить цифру следующего (более младшего) разряда числа.

Так поступать, пока не прибавится младшая цифра числа.

Пример. Перевести в десятичную систему счисления числа 207₈; 10110₂.

207₈=(2ž8 + 0)ž8 + 7 = 135₁₀;

10110₂ =(((1ž2 + 0)ž2 + 1)-2 + 1)ž2 + 0 = 22₁₀.

Алгоритм преобразования правильных дробей

1. Цифру младшего разряда дроби 0, А_q разделить на основание q. К полученному частному прибавить цифру следующего (более старшего) разряда числа 0, А_q.

Полученную сумму вновь следует разделить на q и вновь прибавить цифру следующего разряда числа.

Так поступать, пока не прибавится цифра старшего разряда дроби.

Полученную сумму еще раз разделить на q и к результату приписать запятую и ноль целых.

Пример. Перевести в десятичную систему счисления дроби:

а) 0,1101 ₂; б) 0,356 ₈.

Решение

а) 1/2 + 0 = 0,5; б) 6/8+5 = 5,75;

0,5/2 + 1 = 1,25; 5,75/8 + 3 = 3,71875;

1,25/2 + 1 = 1,625; 3,71875/8 = 0,46484375.

1,625/2 = 0,8125. 0,356 ₈ =0,46484375 ₁₀.

0,1101 ₂ =0,8125 ₁₀;

Перевод десятичных чисел в другие системы счисления (методом поэтапного деления)

Алгоритм перевода целого десятичного числа N в позиционную систему с основанием р

1. Разделить число N на р.

2. Полученный остаток дает цифру, стоящую в нулевом разряде р -ичной записи числа N.

3. Полученное частное снова разделить на р и снова запомнить полученный остаток - это цифра первого разряда, и т.д.