Пример 3. 2 линии влияния опорных реакций

Для заданной трехшарнирной рамы с размерами и нагрузкой, показанными на рис. 3. 7, а, построить эпюры внутренних усилий.

Решение.

1. Определяем опорные реакции:

S m_A = - q 12×18 - P∙ 3 + R_B 24 = 0. R_В = 10,25 кН.

S m_B = q 12×6 + P∙ 21 – R_A 24 = 0. R_А = 11,75 кН.

H = M_C ^бал/ f = (R_А ∙12 – P∙ 9)/6 = 8.5 кН.

2. Строим эпюры Q_х ^бал и М_х ^бал (рис. 3. 7, б).

3. По формулам (3.2), (3.3), (3.4) вычисляем значения внутренних усилий, используя табличную форму.

(3.2)

Q_k=Q_k ^балcosj _k - H sinj _k (3.3)

N_k = Q_k ^балsinj _k + H cosj _k (3.4)

В таблицу 2 заносим опорные точки А и В, точки приложения сосредоточенной силы, начала и конца распределенной нагрузки и узлы рамы m и n. В точках приложения сосредоточенных сил в узлах необходимо находить по два усилия (слева и справа от сечения), поскольку в точках приложения сосредоточенных сил скачкообразно меняется поперечная сила, а в узлах слева и справа различный угол наклона поперечного сечения.

Таблица 2.

№ сеч.	х (м)	y (м)	sin φ	cos φ	M б	Н	М	Q б	Q б cosφ	H sinφ	Q	Q б sinφ	H cos φ	N
A			0.707	0.707		8.5		11.75	8.31	6.01	2.3	8.31	6.01	14.32
k( л )			0.707	0.707	31.25	8.5	5.7	11.75	8.31	6.01	2.3	8.31	6.01	14.32
k( пр )			0.707	0.707	31.25	8.5	5.7	1.75	1.24	6.01	-4.77	1.24	6.01	7.25
n( л )			0.707	0.707	40.5	8.5	-10.5	1.75	1.75	6.01	-4.77	1.24	6.01	7.25
n( пр )					40.5	8.5	-10.5	1.75	1.75		1.75		8.5	8.5
C						8.5		1.75	1.75		1.75		8.5	8.5
m (л)					46.5	8.5	-4.5	-4.25	-4.25	-3.33	-0.92		8.5	8.5
m( пр)			-0.707	0.707	46.5	8.5	-4.5	-4.25	-3.0	-6.01	3.01	3.0	6.01	9.01
B			-0.707	0.707		8.5		-10.2	-7.25	-6.01	-1.24	7.25	6.01	13.3

Используя данные 8, 12 и 15 столбцов таблицы 2 строим эпюры внутренних усилий в трехшарнирной раме (рис. 3.8).

3.2 Расчет арок на подвижную нагрузку

Линии влияния опорных реакций

Для определения вида линии влияния реакции R_А составим следующее уравнение равновесия S m_B = 0,

R_А∙l – P (l – x) = 0.

Тогда линия влияния левой реакции

л. в. R_А = . (3.6)

Выражение для линии влияния реакцию R_В определим из уравнения S m_A = 0,

R_В∙l – P∙ x = 0.

В результате:

л. в. R_В = . (3.7)

Линии влияния реакций R_А и R_В показаны на рис. 3.8.

Отметим, что линии влияния вертикальных реакций в арке те же, что и в однопролетной балке и в ферме.

Поскольку выражение горизонтальной реакции (распора) связано со значением балочного изгибающего момента в точке С , его линия влияния будет иметь две ветви.

Сила Р = 1 справа от точки С. Рассмотрим равновесие левой части арки.

, R_А∙l ₁ – H∙f = 0. Откуда

. (3.8)

Получили уравнение правой ветви линии влияния H.

Аналогично получим уравнение левой ветви - сила Р = 1 слева от точки С. , R_В∙l ₂ - H∙f = 0. Тогда

. (3.8)′

Линия влияния Н показана на рис. (3.8).

Построение линии влияния изгибающего момента

Воспользуемся выражением для изгибающего момента в арке

M_к = M_к^б – Н∙у_к.

Очевидно, что справедливо следующее утверждение

л.в. M_к = л.в. M_к^б – (л.в.Н)у_к,

то есть линию влияния момента в арке можно построить методом наложения двух линий влияния - M_к^б и Н∙у_к. Поступаем следующим образом.

1. Вверх от оси строим линию влияния M_к^б (на рис. 3.9 показана сплошной линией).

2. На той же оси откладываем ординаты линии влияния Н, умноженные на координату точки «к» у_к (пунктирная линия). Для этого достаточно построить левую ветвь линии влияния Н, умножив ее ординаты на у_к, Правая ветвь будет представлена прямой, соединяющей конец левой ветви (проекция т. С) с нулевой точкой на правой опорной вертикали (проекция т. В).

3. В результате получаем разность ординат линий влияния M_к^б и Н∙у_к (заштрихованная область на рис. 3.9 и представляет собой линию влияния M_к).

Точка F′ – нулевая точка линии влияния M_к.

Положение нулевой точки F′ можно найти графическим построением на чертеже арки (графически). Нулевое значение M_к получается при положении единичной силы в интервале между сечением к и ключевым шарниром С. Так как единичная сила приложена к левому диску арка, линия действия правой реакции В должна проходить через центр ключевого шарнира, поскольку .

Поскольку единичная сила правее сечения «к», то для выполнения условия, что M_к = 0, реакция А должна действовать по линии Ак. Проводим линии Ак и ВС, под точкой пересечения которых и находится нулевая точка F′.

Для построения линии влияния M_к способом нулевой точки откладываем на левой опорной вертикали ординату 1∙ а_к, далее соединяем ее с нулевой точкой F′ - получаем 1-ю правую ветвь. Проводя вертикаль через шарнир С получаем границу 1-й и 2-й правых ветвей (то есть правая ветвь представляет собой ломаную линию).

Левую ветвь находим по 1-й правой ветви, соединяя ее начало с левой опорной точкой.

Ординату нулевой точки можно определить аналитически. Она равна (без вывода)

(3.9)

Построение линии влияния поперечной силы.

Воспользуемся выражением (3.3) для поперечной силы в арке

Q_к = Q_к^б cos j _к– Н sin j _к. (3.3)

Поскольку для заданного сечения величины cos j _к и sin j _к постоянны, справедливо следующее утверждение

л.в. Q_к = (л.в. Q_к^б) cos j _к – (л.в.Н) sin j _к.

То есть для построения линию влияния поперечной силы в арке можно воспользоваться методом наложения линий влияния Q_к^б и Н, умноженных на значения соответствующих тригонометрических функций. Поступаем следующим образом (рис. 3.10).

1. Строим линию влияния Q_к^бcos j _к для сечения «к».

2. Вверх от оси откладываем ординаты линии влияния Н sin j _к, которые получаем по левой ветви, ордината которой на правой опоре равна (l ₂/ f) sin j _к.

3. Отмечаем (штрихуем) ординаты, соответствующие выражению (3.3).

Отметим, что в пересечении левой ветви л. в. Н sin j _к с правой ветвью л. в. Q_к^бcos j _к находится нулевая точка F ₁′, положение которой можно установить графически по чертежу арки. Действительно, если сила Р = 1 находится между точками к и С, то слева от точки «к» будет действовать только реакция А и для того, чтобы в сечении «к» выполнялось условие , реакция должна быть параллельна касательной к оси арки в сечении «к».

В то же время, линия действия реакции В будет направлена вдоль прямой ВС. На пересечении этих прямых находится нулевая точка F ₁.

Для построения линии влияния поперечной силы в арке методом нулевой точки достаточно в сечении «к» провести касательную к оси арки направить реакцию А по этой касательной до пересечения с прямой, соединяющей шарниры С и В и получить положение нулевой точки. Далее, отложить на левой опорной вертикали ординату cos j _к и провести 1-ю правую ветвь через точку F ₁′. Проводя вертикаль через шарнир С получаем границу 1-й и 2-й правых ветвей. Затем проводим левую ветвь, которая параллельна 1-й правой ветви (рис. 3.10).

Положение нулевой точки F ₁ можно определить аналитически

(3.10)

Построение линии влияния продольной силы.

По аналогии с построением линии влияния поперечной силы, для построения линии влияния продольной силы можно применить метод наложения и метод нулевой точки.

Для метода наложения необходимо воспользоваться выражением для продольной силы в арке

N_к = – Q_к^б sin j _к – Н cos j _к, (3.4)

тогда:

л.в. N_к = (л.в. Q_к^б) sin j _к + (л.в.Н) cos j _к.

Здесь мы учли, что сжимающая сила в арке считается положительной.

Воспользуемся методом наложения (рис. 3.11).

1. Строим линию влияния Q_к^б sin j _к.

2. От оси вниз строим линию влияния Н cos j _к по левой ветви (пунктирная линия).

3. Складываем ординаты построенных линий влияния.

Если продолжить правую ветвь (л.в.Н) cos j _к и левую ветвь (л.в. Q_к^б) sin j _к получим точку F ₂′. Если предположить наличие консоли – ответвления от участка арки кС, по которой перемещается единичная сила, то слева отсечения «к» действует только реакция А. Если она направлена вдоль оси n, то N_к = 0, т. е.

нулевая точка находится на пересечении прямых ВС и линии действия реакции А.

Для построения лини влияния N_к методом нулевой точки достаточно найти положение т. F ₂′, затем отложить от левой опоры ординату sin j _к и соединить полученные точки до координаты шарнира С – получим 1-ю правую ветвь. Далее строим 2-ю правую ветвь, проводя прямую от конца 1-й правой ветви до правой опоры. Левая ветвь параллельна 1-й правой ветви.

Координата нулевой точки равна

(3.11)

Пример 3.3. Построить линии влияния опорных реакций и внутренних усилий в сечении «к» для арки параболического очертания. Размеры арки указаны на чертеже.

Решение. Построение линий влияния опорных реакций R_A, R_B и распора H однотипно для трехшарнирных систем, так как не зависит от очертания арки (рис. 3.12).

Для построения линий влияния внутренних усилий вычислим координаты сечения «к» и тригонометрические функции угла φ_к.

y_k =

φ _k = 33,6°, sinφ _k = 0.554, cosφ _k = 0.836.

Построение указанных линий влияния проведем методом нулевой точки (рис. 3.13).

Пример 3.4. Построить линии влияния внутренних усилий в сечениях «к» и «д» в трехшарнирной раме. Размеры рамы указаны на чертеже (рис. 3.14).

Решение. Для построения линий влияния внутренних усилий вычислим координаты сечений «к» и «d» и тригонометрические функции углов φ_к и φ _d.

x_k = 3 м, x_d = 6 м.

φ _k = 45°, sinφ _k = 0.707, cosφ _k = 0.707,.

φ _d = 0°, sinφ _d = 0, cosφ _d = 1.

Построение указанных линий влияния проводим методом нулевой точки (рис. 3.14, 3.15).