Теплопроводность металлов

Металлы в отличие от других твердых тел, как правило, являются хорошими проводниками теплоты и электричества. Этот факт позволил П. Друде (1900) сделать первые заключения о механизме передачи теплоты в металлах, связав его с наличием в них большого числа свободных электронов, являющихся носителями электричества. Друде и Лоренц разработали теорию электро- и теплопроводности, объясняющую закон Видемана-Франца, установленный экспериментально еще в 1853 г., согласно которому отношение коэффициента теплопроводности k к удельной электропроводности s для большинства металлов пропорционально температуре Т. При этом коэффициент пропорциональности L одинаков для всех металлов:

.

Этот коэффициент называется числом Лоренца.

Экспериментальное значение числа Лоренца существенно отличается от значения, получаемого в теории Друде-Лоренца. Для устранения наблюдавшихся расхождений теории и эксперимента в 1927 году Зоммерфельд применил для описания электронного газа в металле квантовую статистику Ферми-Дирака. Полученное Зоммерфельдом значение числа Лоренца очень мало отличается от экспериментального. Построенная в этом приближении теория теплопроводности металлов оказалась в хорошем согласии с экспериментом. Типичная зависимость теплопроводности металлов от температуры приведена на рисунке 2.10.

Теплопроводность металлов, в общем случае, складывается из теплопроводности, обусловленной фононами, и теплопроводности, обусловленной свободными электронами. Однако обычно электронный вклад в теплопроводность значительно превышает фононный. Теплопроводность, обусловленная электронами, как правило, на 2 порядка выше, чем теплопроводность, обусловленная фононами. Поэтому обычно неметаллы проводят тепло намного хуже, чем металлы. Тем не менее, бывают исключения. Алмаз имеет при комнатной температуре теплопроводность 550 Вт/(м·К), что гораздо выше, чем у лучшего проводника тепла серебра (407 Вт/(м·К)). Эта аномалия, как показал анализ, связана с жесткостью межатомной связи и с массой частиц, составляющих кристалл. Чем жестче связь и чем меньше масса частиц, тем выше коэффициент теплопроводности.

Задачи

1. Определить максимальную частоту w_max собственных колебаний в кристалле золота по теории Дебая. Характеристическая температура q_D равна 180 К.

2. Вычислить максимальную частоту w_max Дебая, если известно, что молярная теплоемкость С_m серебра при Т = 20 К равна 1,7 Дж/(моль·К).

3. Пользуясь теорией теплоемкости Дебая, определить изменение DU_m молярной внутренней энергий кристалла при нагревании его от нуля до T=0,lq_D. Характеристическую температуру q_D Дебая принять для данного кристалла равной 300К. Считать Т<<q_D.

4. Определить квазиимпульс фонона, соответствующего частоте w = 0,1 w _max. Усредненная скорость звука в кристалле равна 1380 м/с, характеристическая температура Дебая равна 100 К. Дисперсией звуковых волн в кристалле пренебречь.

5. Длина волны фонона, соответствующего частоте w = 0,01 w _max, равна 52 нм. Пренебрегая дисперсией звуковых волн, определить характеристическую температуру Дебая, если усредненная скорость звука в кристалле равна 4,8 км /с.

6. Вычислить усредненную скорость фононов (скорость звука) в серебре. Модули продольной и поперечной упругости, а также плотность серебра считать известными.

7. Определить усредненную скорость звука в кристалле, характеристическая температура которого равна 300 К. Межатомное расстояние в кристалле равно 0,25 нм.

8. Вычислить среднюю длину свободного пробега в кварце при некоторой температуре, если при той же температуре теплопроводность k = 13 Вт/(м К), молярная теплоемкость С_М = 44 Дж/(моль К) и усредненная скорость звука равна 5 км/с. Плотность кварца равна 2,65 10³ кг/м³.

9. Вычислить максимальную силу, возвращающую атом твердого тела в положение равновесия, если коэффициент гармоничности b = 50 Н/м, а коэффициент ангармоничности g = 500 ГПа.

10. Определить возвращающую силу, соответствующую максимальному смещению атома от положения равновесия, если амплитуда тепловых колебаний составляет 5% от среднего межатомного расстояния при данной температуре. При расчетах принять: коэффициент гармоничности b = 50 Н/м, коэффициент ангармоничности g = 500 ГПа, среднее межатомное расстояние r ₀ = 0,4 нм.