Раздел XIII: дифференциальное исчисление функций нескольких переменных

13.1. Основные понятия:

Определение:

Соответствие , при котором каждой паре числовых значений двух независимых друг от друга переменных величин и взятых из области их изменения отвечает одно и только одно числовое значение переменной величины , называют числовой функцией двух переменных.

Обозначение: .

Здесь - аргументы (независимые переменные), - зависимая переменная (функция).

- область определения, - область значений.

Определение:

Совокупность всех точек пространства, координаты которых удовлетворяют уравнению , называют графиком соответствующей функции.Обычно график функции представляет собой поверхность, с которой любая прямая параллельная ось ,пересекается не более чем в одной точке.

Способы задания: табличный, графически, аналитически.

Определение:

Число А называется пределом функции при стремлении точки к точке , если для любого существует : для всех точек координаты которых удовлетворяют соотношениям и справедливо неравенство .

Обозначение: или .

Этот предел существует тогда и только тогда, когда по каждому из направлений предел имеет одно и тоже значение.

Определение:

Функция называется непрерывной в точке , если:

- она определена в точке и ее окрестности;

- в точке предел функции равен значению функции в этой точке .

Определение:

Функция называется непрерывной на некотором множестве, если она непрерывна в каждой точке этого множества.

13.2. Частные производные:

Определение:

Частной производной функции по называется предел отношения частного приращения этой функции по к приращению аргумента при условии, что произвольным образом.

Т.о. . Аналогично, .

Чтобы найти частную производные по функции необходимо в выражении переменную считать постоянной и дифференцировать при этом условии по как функцию одной переменной. Аналогично, для нахождения частной производной по переменной .

Геометрический смысл:

Пусть функция определена и непрерывна в некоторой области , тогда частной производной функции по (по ) вычисленная в точке есть тангенс угла между осью и касательной, проведенной в соответствующей точке поверхности к линии ее пересечения плоскостью .

Определение:

Частной производной - го порядка функции называется частная производная первого порядка по одной из переменных или от частной производной порядка .

Теорема (о равенстве смешанных производных):

Если функция имеет всевозможные непрерывные частные производные до - го порядка включительно, то значения любой смешанной производной - порядка не зависит от того порядка, в котором для ее получения проводились последовательные дифференцирования по и по , но зависит от общего числа дифференцирований по каждому из аргументов.

- формула нахождения частного дифференциала по .

- формула нахождения полного дифференциала.

, где

Теорема (признак полного дифференциала):

Если функции , и их частные производные первого порядка по обоим переменным и непрерывны в некоторой области , то для того чтобы в этой области выражение было полным дифференциалом некоторой функции , необходимо и достаточно, чтобы в каждой точке этой области выполнялось равенство: .

13.3. Дифференцирование сложных функций:

1. Общий случай:

Пусть , тогда

и .

2. Полная производная:

Пусть , тогда

13.4. Дифференцирование неявных функций:

1. Неявная функция одной переменной: , тогда

или ;

Неявная функция двух переменных: , тогда

и , если функция зависит от переменных , .

Имеем аналогичные формулы, если или .

13.5. Касательная плоскость и нормаль к поверхности:

1) Если поверхность задана явно уравнением , то

- уравнение касательной плоскости к этой поверхности в точке

- уравнение нормали к этой поверхности в точке .

2) Если поверхность задана неявно уравнением , то

- уравнение касательной плоскости к этой поверхности в точке .

- уравнение нормали к этой поверхности в точке .

13.6. Экстремумы функции двух переменных:

Определение:

1)Точка, в которой хотя б одна из частных производных первого порядка функции не существует или обе обращаются в нуль, называется критической точкой этой функции.

2) Точка, в которой обе частные производные первого порядка равны нулю, называется стационарной точкой.

Теорема (достаточный признак существования экстремума функции):

Если в стационарной точке функция имеет всевозможные непрерывные частные производные второго порядка и если в этой точке:

- , то - точка экстремума и ;

- , то в точке - экстремума нет;

- , неопределенный случай.

; ;

Правило нахождения экстремума функции :

1) Определяем ;

2) Находим стационарные точки, лежащие строго внутри ;

3) Для каждой такой стационарной точки составляем выражение и с его помощью устанавливаем наличие в стационарной точке экстремума, а по знаку определяем его характер;