Тензоры (второго ранга). Тензор напряжений

Тензором (2-ого ранга) называется оператор, осуществляющий линейное преобразование одного вектора в другой вектор.

Определим два вектора А и В их проекциями на координатные оси x,y,z:

(А)=(А_x А_y А_z)^T, (20)

(В)=(В_x В_y В_z)^T.

Пусть компоненты вектора В являются линейными функциями компонентов А:

B_x = t_xxA_x + t_xyA_y + t_xzA_z

B_y = t_yxA_x + t_yyA_y + t_yzA_z (21)

B_z = t_zxA_x + t_zyA_y + t_zzA_z

Эти же соотношения могут быть записаны в виде

B_i = , i,j = x,y,z (21-а)

или

B_i = t_ijA_j, i,j=x,y,z (21-б)

(последняя запись подразумевает суммирование по повторяющемуся в правой части равенства и отсутствущему слева индексу j),

или в матричной форме

(В)=(t)(А), (21-м)

где (t) – матрица, составленная из тензора T в той же системе координат:

(t) = (22)

или в векторно-тензорной форме

В = Т А, (21-т)

где А,В – векторы, Т -тензор, (А),(В),(t) – представления этих структур матрицами компонентов в выбранной системе координат формулами 20,21,22.

Все особенности напряженного состояния в точке тела, описанные в параграфах 1.4 – 1-8 получены как следствие зависимости (6), в соответствии с которой матрица напряжений (s) линейно преобразует вектор единичной нормали к площадке (n) в вектор напряжений на этой площадке (S).

Напряженное состояние в точке деформируемого тела характеризуется тензором напряжений s с матрицей компонентов (s) (в той или иной системе координат).