Рисунка

Понятие устойчивости – это внутренняя характеристика системы, которая от внешних воздействий не зависит. Система является устойчивой, если ее реакция на ограниченное воздействие тоже будет ограниченной.

Аналитическим путем можно определить, устойчива цепь или нет решив дифференциальное уравнение цепи. Если каждое из слагаемых в свободной составляющей будет затухающим, то система устойчива

Если все действительные части корней характеристического полинома отрицательные, то система устойчива. Если все полюсы передаточной функции находятся в левой полуплоскости, то система устойчива. Данное условие и есть необходимое и достаточное условие устойчивости системы.

Для оценки устойчивости нужно найти корни характеристического полинома. Если порядок большой, то найти их не так и просто. Для того чтобы не отыскивать эти корни, существует ряд критериев оценки устойчивости.

Критерий – означает признак, на основании которого дают оценку или характеризуют что-либо.

Критерий Рауса-Гурвица (алгебраический критерий):

Для того, чтобы действительные части корней характеристического полинома были бы отрицательными, необходимо и достаточно чтобы при >0 все диагональные миноры определителя Гурвица были бы положительными. Правило составления этого определителя Гурвица следующее:

Недостатки критерия:

- для сложных систем не так-то просто получить передаточную функцию.

- недостаточная наглядность. Непонятно, как повлияет на устойчивость изменение коэффициентов.

Критерий Найквиста относится к частотным методам исследования устойчивости и использует понятие «годограф».

Годограф – кривая, прочерчиваемая концом вектора на комплексной плоскости при изменении частоты от .

Если годограф разомкнутой системы не охватывает точку с координатами , то при замыкании цепи обратной связи система будет устойчивой. В противном случае неустойчивой.

Достоинства:

- годограф можно снять экспериментально. Для этого на разных частотах нужно замерять модуль коэффициента передачи и аргумент коэффициента передачи.

- решение об устойчивости замкнутой системы принимается по результатам исследования разомкнутой, т.е. нет опасности разрушения при замыкании цепи обратной связи.

- необязательно стоить годограф. Можно отдельно построить АЧХ и ФЧХ разомкнутой системы.

3. 5. Цифровые фильтры

Занятие 3.5.1. Структура цифровых фильтров

Вопросы:

1. Основные понятия и определения.

2. Трансверсальный фильтр.

3. Рекурсивный фильтр.

Цифровые фильтры получили широкое распространение с внедрением в радиотехнику цифровых вычислительных устройств. Цифровые фильтры имеют ряд преимуществ перед аналоговыми. Основные из них – надежность, стабильность характеристик, очень высокая избирательность, недостижимая в аналоговых фильтрах.

Функциональная схема процессов обработки сигналов имеет следующий вид:

РИСУНОК

0 1 2 2 2 1 - выборки из цифрового сигнала

На вход АЦП поступает аналоговый сигнал, который нужно отфильтровать. Из этого сигнала берутся выборки с интервалом и преобразуются в цифровой код. Обычно квантование и кодирование выполняется в АЦП. Последовательность закодированных цифрами отсчетов поступает на цифровой фильтр. Цифровой фильтр – это вычислительное устройство, в котором над цифровыми отсчетами производятся математические операции (+, *, задержка во времени) по какому-то алгоритму. В результате, на выходе цифрового фильтра появляется другой числовой код, соответствующий отфильтрованному сигналу. ЦАП превращает этот код в напряжение соответствующей величины, а синтезирующий фильтр сглаживает его, превращая в отфильтрованный сигнал. Очевидно, что все операции над цифровыми отсчетами должны проводится за время меньшее, чем , определяемый теоремой Котельникова.

При рассмотрении цифровых фильтров выделяют две задачи: задачу анализа и задачу синтеза. Задача анализа заключается в том, чтобы имея структуру цифрового фильтра определить его частотные характеристики. Задача синтеза заключается в том, чтобы по требуемой АЧХ и ФЧХ найти структуру цифрового фильтра.

РИСУНОК

Сигнал на входе цифрового фильтра представляет собой последовательность из N отсчетов

Взятых с интервалом из непрерывного сигналы . Цифровой фильтр обладает памятью. Сигнал на выходе тоже представляет собой цифровые отсчеты. В общем случае . Сигнал на выходе в момент времени зависит от входного сигнала в этот момент времени и от всех предыдущих выборок входного сигнала.

РИСУНОК

Такой фильтр называется трансверсальным. Получим его импульсную характеристику. Если на вход такого фильтра подать дельта импульс с весом в единицу, то реакция на него будет являться импульсной характеристикой.

РИСУНОК

Импульсная характеристика цифрового фильтра может быть представлена как результат дискретизации с интервалом и импульсной характеристики аналогового фильтра. Импульсная характеристика трансверсального фильтра представляет собой сумму конечного числа отсчетов. Если применить преобразования Лапласа к импульсной характеристике, то получим

Рекурсивный фильтр. Рассмотрим следующую схему:

РИСУНОК

В формировании каждой выборки выходного сигнала участвует текущая выборка входного сигнала и все предыдущие, а так же предыдущие выборки выходного сигнала.

Наличие обратных связей дает большие возможности по формированию АЧХ. Такой фильтр называется рекурсивным.

Применим преобразование Лапласа к левой и правой части записанного выражения:

Анализ цифровых фильтров.

Использование Z преобразований для анализа дискретных сигналов и цепей.

Анализ цифровых фильтров.

Преобразование по Лапласу временных процессов а так же передаточных функций дискретных систем включает в себя слагаемое вида . Они оказываются трансцендентными функциями переменной р, что значительно затрудняет анализ. Для упрощения преобразований ввели переменную Z, равную .

Тогда трансцендентные функции переменной р преобразуются в рациональные функции переменной Z.

Преобразование комплексной плоскости p в комплексную плоскость Z можно осуществить следующим образом:

Таким образом можно преобразовывать плоскость p в плоскость Z.

РИСУНОК

Таким образом, каждая точка плоскости Z имеет свой образ в плоскости p и наоборот.

Как и для преобразований Лапласа, для Z преобразований так же имеются таблицы соответствий.

РИСУНОК

АЧХ дискретной цепи периодически повторяется, в отличие от АЧХ аналоговых систем. Спектр дискретного сигнала – тоже периодически повторяющийся.

Если поменять коэффициент , то вид характеристики поменяется

РИСУНОК

Необходимым и достаточным условием устойчивости цифрового фильтра является нахождение полюсов передаточной функции внутри круга единичного радиуса, что эквивалентно их положениям в левой полуплоскости на p плоскости.

Нелинейные цепи

Основные понятия и определения нелинейных цепей

Вопросы:

1. Нелинейная цепь, ее основные свойства и математическое описание.

2. Назначение нелинейных цепей.

3. Характеристики и параметры нелинейных элементов.

Нелинейная цепь – это такая цепь, реакция которой связана с входным воздействием нелинейным образом.

- линейные зависимости

- нелинейная зависимость

РИСУНОК

Нелинейный элемент – это такой элемент, реакция которого нелинейно зависит от входного воздействия. Если в цепи есть хотя бы один нелинейный элемент, то она в целом буде нелинейной.

Основные свойства нелинейных цепей следующие:

- нелинейные цепи не подчиняются принципу суперпозиций

- нелинейные цепи способны изменять спектр входного сигнала. При этом может иметь место, так называемое органическое изменение, когда в выходном сигнале появляются те частоты, которых не было на входе.

- в нелинейных цепях может наблюдаться неоднозначность соответствия входа и выхода, т.е. одному значению входной величины может соответствовать 2, 3 значения выходной величины.

- законы Кирхгофа выполняются полностью.

- закон Ома выполняется только для конкретных значений токов и напряжений.

Математическое описание нелинейных элементов и цепей возможно с помощью дифференциальных уравнений. Однако, коэффициенты, входящие в это уравнение зависят от входных воздействий, т.е. не являются постоянными. Следовательно, уравнения будут являться нелинейными дифференциальными уравнениями. Общего решения НДУ не имеет. Поэтому, чтобы анализировать нелинейную цепь приходится идти на всякие упрощения. Поэтому существуют методы линеаризации нелинейных уравнений. Решение при этом получается приблизительное. Есть так же графические способы анализа нелинейных цепей, но они тоже не дают общего решения. При изменении режимов работы, весь расчет надо проводить заново.

Назначение нелинейных элементов и цепей

Явления, которые присущи нелинейным цепям, лежат в основе функционирования большинства радиоэлектронных приборов (лампы, транзисторы, диоды). С помощью них осуществляются основные преобразования сигналов (модуляция, детектирование, умножение частоты, преобразование частоты, ограничение амплитуды, усиление, выпрямление переменного тока т др.). В основе всех этих преобразований лежит способность нелинейных элементов изменять спектр входного сигнала.

Если создать условия для изменения параметра нелинейного элемента во времени, получим параметрический элемент, т.е. второе назначение нелинейных элементов – это создание параметрических цепей.

Характеристики и параметры нелинейных элементов

Нелинейные элементы – это нелинейное сопротивление (), индуктивность и емкость . Чаще всего в качестве нелинейного сопротивления выступают транзисторы и лампы. В качестве емкости – варикапы.

Строго говоря, любой элемент не линеен. Например, при разогреве сопротивление резистора не остается постоянным. Но, если выполнить условие

, то резистор линеен.

Если входной сигнал, подаваемый на транзистор, небольшой и не выходит за пределы линейного участка вольтамперной характеристики, то транзистор линеен.

РИСУНОК

В противном случае, транзистор становится нелинейным.

Некоторые элементы специально конструируются как нелинейные (диоды). Свойства каждого из нелинейных элементов описываются их статическими характеристиками.

Для сравнения, - ВАХ

РИСУНОК

Т.е. одному и тому же значению входного сигнала соответствуют три выходных величины.

Для индуктивности, статическая характеристика – это зависимость магнитного потока от тока.

- ВбАХ

Для емкости, - КВХ

Параметры нелинейных элементов подразделяются на статические и динамические.

РИСУНОК

Пусть статическая характеристика какого-то нелинейного элемента, это . На статической характеристике выбирается рабочая точка. Пол ней понимают точку, соответствующую режиму работы. Под статическим параметром рабочей точки понимают отношение

- угол наклона линии, соединяющую рабочую точку и начало координат.

Для сопротивления, это

- крутизна ВАХ (А/В)

Для индуктивности

Для емкости

Динамический параметр – это производная в рабочей точке

РИСУНОК

- угол наклона касательной к статической характеристике в рабочей точке.

Статические характеристики применяются при анализе цепей постоянного тока, а динамические – при анализе цепей переменного тока.

Вопросы:

1. Трансформация спектра гармонического колебания.

2. Трансформация спектра бигармонического колебания

Установлено, что нелинейный элемент изменяет спектр гармонического колебания. Надо выяснить, в каких соотношениях находятся амплитуды и частоты выходного колебания с амплитудами и частотами входного колебания. Рассмотрим только нелинейное сопротивление. В емкостях и индуктивностях эти процессы аналогичны. Полагаем, что . Тогда при аппроксимации степенным полиномом