Расчет изгибаемых элементов

В соответствии с разработанной нами моделью можно рассчитывать железобетонные элементы содержащие как слои бетона, так и слои арматуры. Рассмотрим расчет железобетонной балки сечением 400х600мм, содержащую один ряд арматуры (2 диаметром 25мм, класса А400) в сжатой зоне и два ряда арматуры в растянутой зоне (2х2 диаметром 25мм класса А400).

Определим предельный изгибающий момент для сечения по методу предельных усилий в соответствии с действующими нормативными документами.

,

В соответствии с разработанной нами моделью предельный момент для сечений (при относительных деформациях бетона сжатой зоны не более , . Как видим, предельный изгибающий момент, полученный нами по нелинейной деформационной модели достаточно хорошо совпал с полученным значением по методу предельных усилий.

Обратим внимание, что в соответствии с нашей моделью напряжения в сжатой арматуре не достигли предела текучести, однако это не сказалось на окончательном итоге, т.к. в нашей модели усилие не воспринятое сжатой арматурой оказалось воспринято сжатым бетоном.

Также обратим внимание, что в момент, когда деформации сжатого бетона достигают предельных, деформации растянутой арматуры находятся далеко за пределами упругой работы . Найдем изгибающий момент, при относительных деформациях арматуры нижнего слоя равных предельным при упругой работе . Как видим, в этом случае изгибающий момент для сечения составляет , т.е. значительно меньше полученного по методу предельных усилий, одной из причин этого является тот факт, что напряжения во втором слое арматуры не достигли предела текучести, т.е. меньше предельных. Также необходимо отметить, что и усилия в сжатой зоне бетона, и усилия в сжатой арматуре далеки от предельных - напряжения в сжатой арматуре .

Увеличим относительные деформации растянутой зоны таким образом, чтобы оба слоя нижней арматуры достигли предела текучести. В этом случае предельный изгибающий момент составляет , т.е. достаточно близок к полученному по методу предельных усилий. Однако и в этом случае напряжения в сжатой арматуре далеки от предела текучести - .

Для понимания работы сжатой арматуры построим график зависимости напряжений в арматуре от величины изгибающего момента.

Рисунок 3‑1. Зависимость напряжений в сжатой и растянутой арматуре от величины изгибающего момента без учета работы растянутого бетона

Как видно из графика, напряжения как в растянутой, так и сжатой арматуре практически пропорциональны изгибающему моменту до образования пластического шарнира, при этом к моменту образования пластического шарнира напряжения в сжатой арматуре достаточно малы. Резкий рост напряжений в сжатой арматуре начинается после образования пластического шарнира. Это можно объяснить тем, что растянутая арматура достигла предела текучести, вследствие чего резко увеличиваются деформации растянутой зоны, высота трещины стремительно увеличивается, а высот сжатой зоны уменьшается, естественно, что напряжения в сжатой зоне при этом увеличиваются.

Также необходимо отметить, что напряжения в арматурных стержнях нижней зоны не равны, т.к. один из рядов находится выше другого, а значит получает меньшие деформации. После того, как арматурные стержни самого нижнего (1-го) ряда, достигли предела текучести, напряжения во 2-м ряду арматуры растут более высокими темпами и, как уже было сказано, к моменту образования пластического шарнира "догоняют" напряжения в арматурных стержнях 1-го ряда.

Как видим, положения метода предельных усилий о том, что усилия в бетоне сжатой зоны и всех арматурных стержнях достигают предельных, достаточно хорошо характеризует работу элемента в предельной стадии, однако не позволяет сделать каких-либо выводов относительно поведения элемента на всех этапах нагружения.

Как обычно, для дальнейшего анализа созданной схемы построим диаграмму момент-кривизна.

Рисунок 3‑2. Диаграмма изгибающий момент-кривизна без учета работы растянутого бетона

Как видно из графика, для нашего элемента наступление пластического шарнира происходит практически одномоментно, а диаграмму можно с достаточной точностью считать двухлинейной.

Отметим также, что в отличии от классического мнения о пластических шарнирах, диаграмма имеет не горизонтальную ветвь после образования пластического шарнира, т.е. на этом этапе также имеет некоторое увеличение прочности (порядка 5%). Это имеет значение для методов расчета статически неопределимых конструкций основанных на диаграммах момент-кривизна, в частности для метода предельного равновесия, однако зачастую этим увеличением несущей способности пренебрегают, и диаграмму с достаточной точностью можно считать двухлинейной с горизонтальным участком.

Рассмотрим, как повлияет на нашу схему учет прочности бетона растянутой зоны. Для этого, как и ранее, введем соответствующие условия при определении напряжений в бетоне.

На начальной стадии загружения мы увидим, что изгибающий момент в сечении растет намного быстрее, чем в модели без учета работы бетона растянутой зоны (т.е. при одних и тех же деформациях крайних волокон). Это объясняется тем, что в растянутой зоне значительная доля усилий воспринимается бетоном.

При достижении относительными деформациями нижней зоны принятой предельной растяжимости бетона, т.е. изгибающий момент в сечении не только перестает расти, но и падает на определенном участке, это объясняется тем, что усилия в растянутой зоне не воспринимаются бетоном и передаются на арматуру.

Здесь необходимо отметить, что мы приняли так называемый кинематический, т.е. деформационный метод нагружения – определенные стадии загружения достигались увеличением деформаций, а не нагрузки, поэтому на определенном этапе загружения изгибающий момент может и падать. Традиционный же вид нагружения является силовым, поведение нашего сечения при силовом нагружении мы рассмотрим далее.

Построим график зависимости напряжений в арматуре от изгибающего момента.

Рисунок 3‑3. Зависимость напряжений в сжатой и растянутой арматуре от величины изгибающего момента с учетом работы растянутого бетона при «деформационном» варианте нагружения

Как видно из графика, на начальном этапе напряжения в арматуре растут не очень быстро, т.к. растягивающие усилия воспринимаются и бетоном, и арматурой. После образования трещины происходит резкий сброс изгибающего момента при одновременном росте напряжений в арматуре, как сжатой, так и растянутой.

При дальнейшем нагружении (увеличении деформаций) все растягивающие усилия передаются на арматуру и момент вновь начинает увеличиваться, т.е. на графике образуется некоторая петля или прогиб, характеризующееся некоторым уменьшением несущей способности. Очевидно, что данное уменьшение несущей способности будет более значимым для слабоармированных элементов, в которых арматура растянутой зоны не способна воспринимать значительные растягивающие усилия (влияние этого фактора мы рассмотрим далее).

Предельный изгибающий момент для нашего сечения значительно не изменился и составляет . Таким образом, можно сделать вывод, что в предельной стадии учет работы бетона в растянутой зоне не имеет какого-либо значения, т.к. зона растянутого бетона в сечении над трещиной очень мала, а также вследствие незначительной прочности бетона на растяжение.

Для анализа деформаций построим, как и ранее диаграмму момент-кривизна.

Рисунок 3‑4. Диаграмма изгибающий момент-кривизна с учетом работы растянутого бетона при «деформационном» варианте нагружения

Как видим, на диаграмме момент-кривизна появился участок в начале загружения, в котором жесткость сечения выше, чем на остальных участках загружения – это объясняется работой растянутой зоны бетона.

После образования трещины происходит, как мы уже отметили, некоторое уменьшение момента с резким увеличением кривизны в сечении, при дальнейшем нагружении жесткость сечения стабилизируется и остается практически постоянной до образования пластического шарнира.

Рассмотрим, что будет происходить с принятым нами сечением при силовом нагружении, т.е. таком виде нагружения при котором этапы нагружения характеризуются возрастанием внешней нагрузки. В этом случае при достижении момента трещинообразования нами бы производилось увеличение нагрузки несмотря на значительно возрастающие деформации.

Для отражения такого способа нагружения нам даже не потребуется дополнительных вычислений – достаточно удалить из графика данные, соответствующее отмеченной ранее "петле" изгибающего момента.

Рисунок 3‑5. Зависимость напряжений в сжатой и растянутой арматуре от величины изгибающего момента с учетом работы растянутого бетона при «силовом» варианте нагружения

Рисунок 3‑6. Диаграмма изгибающий момент-кривизна с учетом работы растянутого бетона при «силовом» варианте нагружения

Диаграмма момент-кривизна данного вида хорошо согласуется с опытными данными.

Откорректируем нашу модель, уменьшив площадь армирования в два раза. Как и в предыдущем примере, будем учитывать работу бетона растянутой зоны.

Рисунок 3‑7. Зависимость напряжений в сжатой и растянутой арматуре от величины изгибающего момента с учетом работы растянутого бетона при «деформационном» варианте нагружения

Рисунок 3‑8. Диаграмма изгибающий момент-кривизна с учетом работы растянутого бетона при «деформационном» варианте нагружения

Как видно из приведенных рисунков, после уменьшения площади арматуры в два раза эффект уменьшения воспринимаемого изгибающего момента при образовании первой трещины значительно усилился, а также стал ближе к предельной стадии. Можно сделать вывод, что для слабоармированных элементов возможно такое напряженное состояние, что после образования первой трещины сразу же наступит образование пластического шарнира, т.е. момент воспринимаемый сечением до образования трещины будет больше момента воспринимаемого сечением после образования трещины.

В соответствии с действующими нормами проектирование подобных элементов настоятельно не рекомендуется. В этом случае рекомендуется устанавливать количество арматуры таким образом, чтобы момент воспринимаемый сечением после образования трещины был не менее момента воспринимаемого сечения перед образованием первой трещины. Также допускается не соблюдать данное условие, но назначать предельный момент на 15% больше расчетного, т.е. обеспечивать дополнительный резерв несущей способности.

Рассмотрим «силовой» вариант нагружения элемента.

Рисунок 3‑9. Зависимость напряжений в сжатой и растянутой арматуре от величины изгибающего момента с учетом работы растянутого бетона при «силовом» варианте нагружения

Как видно из графика, при образовании трещины произошло резкое увеличение напряжений в арматуре, причем не только для растянутой зоны, но и для сжатой. Увеличение напряжений в сжатой зоне объясняется уменьшением высоты сжатой зоны и, соответственно, увеличением относительных деформаций бетона и арматуры в сжатой зоне.

Рисунок 3‑10. Сравнение диаграмм изгибающий момент-кривизна при различных уровнях содержания арматуры в сечении

Как видно из графика, скачок деформаций после образования трещины стал намного больше, чем в рассмотренном ранее примере. При реальной работе конструкций данный факт приведет к резкому увеличению прогиба элемента после образования трещин.

Уменьшим площадь арматуры еще в два раза (т.е. в 4 раза относительно первоначальной площади), но при этом повысим прочность в 4 раза относительно первоначальной, т.е. предельный изгибающий момент должен оставаться приблизительно таким же, как и в первом примере.

Рассмотрим напряжения в арматуре и сравним их с балкой аналогичной несущей способности армированной низкопрочной арматурой.

Как видим из рисунка, напряжения в растянутой арматуре выросли значительно и в предельной стадии достигли своего предела текучести. Напряжения в сжатой арматуре тоже несколько выросли, однако как и в элементе с низкопрочной арматурой напряжения не достигают своего предела текучести.

Для анализа деформационных характеристик, как и ранее, построим диаграмму момент-кривизна и сравним ее с аналогичной диаграммы для балки с низкопрочной арматурой.

Рисунок 3‑11. Сравнение диаграмм изгибающий момент-кривизна при использовании обычной и высокопрочной арматуры и обеспечении равной прочности сечений

Как видно из диаграммы, предельный изгибающий момент для одной и второй балки практически одинаковый и составляет для балки армированной низкопрочной арматурой и для балки армированной высокопрочной арматурой.

Как видим, использование высокопрочной арматуры имеет значительный экономический эффект – нам удалось уменьшить площадь арматуры в 4 раза без снижения прочности элемента.

Однако, как видно по диаграмме момент-кривизна элемент армированный высокопрочной арматурой в предельной стадии имеет кривизну (а значит и прогиб) почти в 4 раза больше чем аналогичный по прочности элемент, имеющий армирование низкой прочности. Практически пропорциональное уменьшению площади арматуры увеличение кривизны (прогиба) связано с тем что напряжения в растянутой арматуре выросли в 4 раза, а ее модуль упругости остался прежним, что привело к увеличению деформаций арматуры.

Данное обстоятельство, а также чрезмерное раскрытие трещин в элементах армированных высокопрочной арматурой не позволяет полноценно использовать такие железобетонные элементы.