Расчет изгибаемых элементов

Примем новые геометрические параметры для модели сталежелезобетонного элемента:

Слой сжатого бетона , стальной симметричный двутавр со следующими геометрическими характеристиками: , , , ,

Отметим, что в действующих отечественных нормативных документах отсутствуют методики расчета сталежелезобетонных элементов по нелинейной деформационной модели. В различных учебных источниках прочность таких элементов рекомендуется определять по методу предельных усилий, т.е. полагая, что усилия в бетоне сжатой зоны и стальном элементе достигают предельных.

В соответствии со СНиП 2.03.05-84* «Мосты и трубы» расчет сталежелезобетонных элементов производится на основе гипотезы плоских сечений, однако в основе предлагаемого в данном документе способа расчета лежат аналитические зависимости. К сожалению, значительная сложность напряженно-деформированного состояния рассматриваемых сталежелезобетонных элементов не позволяет вывести аналитические зависимости для общего случая расчета и в данном нормативном документе содержатся формулы выведенные при очень больших допущениях, наша же модель позволяет выполнить расчет практически любого элемента, в том числе и с некоторым нарушением гипотезы плоских сечений (например, при податливом соединении бетонной и стальной части сечения между собой).

Для нашего примера будем полагать, что расчетное сопротивление бетона при сжатии , расчетное сопротивление стали при растяжении и сжатии

Для первого приближения за предельный изгибающий момент будем принимать такой изгибающий момент, при котором относительные деформации растяжения для стали не превысят

Для получения предельного изгибающего момента будем менять относительные деформации таким образом, чтобы сумма продольных усилий в слоях равнялась нулю.

Обратим внимание, что относительные деформации в сжатой и растянутой зоне не равны – деформации растянутой зоны значительно превышают деформации сжатой зоны.

В соответствии с разработанной нами моделью предельный момент для сечения составляет

Определим предельный момент для сечения в соответствии с методами предельных усилий.

Площадь двутавра , Предельное усилие в растянутой зоне .

Высота сжатой зоны бетона .

Плечо внутренней пары .

Предельный момент для сечения:

Как видим, предельный изгибающий момент, определенный по методу предельных усилий вполне соответствует определенному по нелинейной деформационной модели, причем если ранее мы говорили о неточности нашей модели по сравнению с теоретическим решением из-за дискретности разбивки по слоям, то в данном случае, несомненно, решение по нелинейной деформационной модели является более точным, так как получено при меньшем количестве допущений.

Обратим также внимание, что при относительные деформации сжатого бетона достигли величины . Как мы отметили ранее, предельные относительные деформации бетона следует ограничивать величиной . В этом случае предельный момент для нашего сечения составит .

Рисунок 2‑3. Эпюра напряжений в сечении при действии изгибающего момента равного предельному

Как мы видим, разрушение нашего изгибаемого элемента происходит со сжатой зоны бетона, т.е. в соответствии с терминами теории железобетона элемент является переармированным, однако как мы видим, высота сжатой зоны в предельной стадии не превышает и половины рабочей высоты сечения.

Таким образом, разработанная нами нелинейная деформационная модель позволяет не только определить прочность какого-либо сечения, но и определить с какой зоны (сжатой или растянутой) будет начинаться разрушение элемента.

Как и ранее, мы можем определить прогиб элемента по его кривизне, а также построить диаграмму момент-кривизна или момент-прогиб.

Рисунок 2‑4. Диаграмма момент-кривизна для заданного сечения

Как видно из диаграммы момент-прогиб, предельный момент для нашего сечения составляет , однако при данном значении изгибающего момента в элементе возникают значительные по величине прогибы, более того, значительная часть сечения находится в пластической зоне, определим предельный момент для сечения, при котором стальной двутавр работает только в упругой зоне, данный момент составляет , как видим данный изгибающий момент значительно ниже предельного изгибающего момента, определенного по методу предельных усилий.

Также из диаграммы момент-прогиб отметим, что наступление пластического шарнира наступает постепенно на некотором участке, данный участок соответствует текучести нижней полки двутавра, после этого на диаграмме опять появляется практически линейный участок, соответствующий постепенному переходу стенки в стадию текучести, однако из-за того, что стенка оказывает относительно малое влияние на величину изгибающего момента, данный участок практически линейный.

Решение о возможности допущения пластических деформаций должно приниматься в каждом конкретном случае, однако как видим, разработанная нами модель позволяет обоснованно определить величину изгибающего момента при котором еще не наступает пластических деформаций.

Как мы сказали ранее, изгибающий момент при использовании двухлинейной диаграммы момент-кривизна практически соответствовал результату, определенному по методу предельных усилий, рассмотрим влияние вида диаграммы на расчетную величину предельного изгибающего момента, для чего применим параболо-линейную диаграмму.

Рисунок 2‑5. Эпюра напряжений в сжатой зоне бетона с использование параболо-линейной зависимости напряжения-деформации для сжатого бетона

В этом случае предельная величина изгибающего момента , т. е. незначительно отличается от величины, полученной при двухлинейной диаграмме, сделаем отсюда один из очень важных выводов теории железобетона – для изгибаемых железобетонных элементов величина предельного изгибающего момента для сечения незначительно зависит от вида диаграммы для сжатого бетона.

Для проверки данного утверждения проверим изгибающий момент при линейной зависимости напряжения-деформации для сжатого бетона. В этом случае предельный изгибающий момент составляет и отличается от полученных нами ранее значений приблизительно на 15%, данное расхождение является весьма значительным, однако вспомним, что получено оно при очень большом допущении о линейной работе бетона вплоть до разрушения.

Рассмотрим отдельно напряжения в сжатой зоне бетона с использованием нелинейной деформационной модели, для чего построим график напряжений в сжатой зоне бетона по слоям 1-20 при уровне относительных деформаций на верхней грани , , и , что соответствует величинам изгибающего момента , , и соответственно.

Рисунок 2‑6. Эпюра напряжений в сжатой зоне бетона при различных уровнях нагрузки с использованием параболо-линейной зависимости напряжения-деформации для сжатого бетона

Как видно из графика, при малых уровнях деформаций бетон сжатой зоны работает практически линейно, однако при этом также видно, что нелинейная работа бетона становится весьма заметной даже при напряжениях ниже расчетного сопротивления.

Также необходимо отметить, что при малых относительных деформациях бетона сжатой зоны (т.е. при относительно малых нагрузках) все сечение бетона сжато, но при росте относительных деформаций высота сжатой зоны уменьшается, в т.ч. в сечении бетона образуется растянутая зона, т.е. при некотором уровне нагрузки напряжения в бетоне меняют знак с сжимающих на растягивающие.