Каркасы зданий и фермы мостов состоят в основном из растянутых стержней, балок и колонн. Колонны – это длинные сжатые стержни, примером которых в каркасах зданий могут служить вертикальные стержни, несущие межэтажные перекрытия.
Если длина сжатого стержня более чем в 10–15 раз превышает его толщину, то под действием критических нагрузок, приложенных к его концам, он, потеряв устойчивость, изогнется, даже если нагрузки номинально приложены по его оси (продольный изгиб). Вследствие такого изгиба нагрузка оказывается внецентренной. Если эксцентриситет в среднем поперечном сечении колонны равен D, то максимальное сжимающее напряжение в колонне будет равно:
σ = (P / A) + (PDc / I).
Отсюда видно, что допускаемая нагрузка для колонны должна быть меньше, чем для короткого сжатого стержня.
Формулу для устойчивости гибких колонн вывел в 1757 году Л.Эйлер. Максимальная нагрузка Pкр (критическая сила), которую может нести гибкая колонна высотой L, равна
Pкр=π 2EImin /(νL)2,
где ν – постоянный множитель, зависящий от конструкции основания (способа закрепления концов колонны), Imin – наименьший осевой момент инерции поперечного сечения.
Кроме критической силы, можно определить критическое напряжение:
σкр = π2 Еimin2 /(νL)2 = π2 Е / λ 2,
где imin – минимальный радиус инерции поперечного сечения.
Отношение νL / imin называется гибкостью λ (при продольном изгибе). Как нетрудно видеть, допускаемая нагрузка быстро убывает с увеличением гибкости колонны. В случае колонн с малой гибкостью формула Эйлера непригодна, и конструкторы вынуждены пользоваться эмпирическими формулами (например, формулой Ясинского).
В строениях часто встречаются внецентренно нагруженные колонны. В результате точного теоретического анализа таких колонн были получены «формулы секанса». Но расчеты по этим формулам весьма трудоемки, а потому часто приходится прибегать к эмпирическим методам, дающим хорошие результаты.