Длина свободного пробега

Взаимодействие молекул в газе, молекулы которого находятся на относительно большом расстоянии друг от друга, носит характер столкновений. От частоты столкновений зависит время протекания процессов, ведущих к установлению состояния термодинамического равновесия: диффузии, теплопроводности, электропроводности. Кроме того, от частоты соударений зависит протекание фазовых переходов в таких системах.

Длиной свободного пробега молекулы газа называется расстояние, пролетаемое молекулой от одного столкновения до следующего. Эта величина в процессе соударений изменяется случайным образом, поэтому необходимо ввести среднее значение этой физической величины.

Для определения частоты столкновений и длины свободного пробега допустим, что все молекулы покоятся, а одна из них движется со средней тепловой скоростью v. Пусть все молекулы имеют одинаковый диаметр d. Пусть концентрация молекул равна n, причем для виртуального двумерного движения под концентрацией следует понимать число частиц, относящееся к единице площади, а не к единице объема. Частицы движутся, причем после каждого столкновения изменяется направление движения частицы (рис. 1). За 1 секунду молекула пройдет путь, равный ее скорости, но траектория этого движения будет не прямая, а ломаная линия. Нарисуем 2 линии, параллельные прямолинейному участку траектории движения частицы, на расстоянии, равном диаметру молекулы, от этого участка. У каждого излома этих линий будет «стоять» частица, причем для того, чтобы летящая частица могла испытать с ней соударение, нужно, чтобы центр неподвижной частицы попал между параллельными линиями.

Вычислим число ударов, испытываемых летящей частицей за одну секунду. За это время она проходит путь, равный скорости. Площадь, заключенная между параллельными линиями, приближенно равна произведению двойного диаметра на длину линии v, т.е. . Число частиц, находящихся на этой площади, равна . Это величина равна числу столкновений выделенной молекулы с другими частицами за 1 секунду. Разделив на эту величину путь v, пройденной молекулой за секунду, получим выражение для средней длины свободного пробега:

.

Эта формула получена в модели, в которой сталкивающаяся молекула имеет среднюю скорость, а остальные молекулы неподвижны. Учет реального движения других молекул довольно сложен, но практически не изменяет эту формулу, в ней дополнительно появляется лишь несущественный безразмерный множитель в знаменателе.