, – компоненты вектора f зависимы от фазовых координат. n=2
Все первые производные равны 0. ; ; – не одна особая точка. Введем обозначения:
. Состояние равновесия в котором наз. простым.
Разложение по степеням нелинейной функции исходного уравнения. :
– разложение со второго порядка и выше.
Сделаем замену переменных: =>
Линеаризация уравнения вблизи : линеаризованная система вблизи точек равновесия.
Для системы «хищник-жертва»
Рассмотрим координаты особых точек:
1. ;
I. (0,0) II. ()
Линеаризация вблизи особых точек:
; ; (седло)
Поведение системы при больших N
;
-> . Далеко от начала координат имеет прямую.
;
Точка (0,0) – седло.
Сепаратрисы – кривые, проходящие через общую точку
Домножаем уравнения на и , сложим.
Домножая исходное уравнение на и и суммируем:
Из (1) вычтем (2):
Умножим на dt и проинтегрируем:
Это выражение будет первым интегралом исходной системы.