Нахождение угла между двумя плоскостями

Двугранный угол, образованный полуплоскостями измеряется величиной его линейного угла, получаемого при пересечении двугранного угла плоскостью, перпендикулярной его ребру.
Величина двугранного угла принадлежит промежутку(0˚; 180˚)
Величина угла между двумя пересекающимися плоскостями принадлежит промежутку (0˚; 90˚].
Угол между двумя параллельными плоскостями считается равным 0˚.

Угол между двумя пересекающимися плоскостями можно вычислить как угол между нормалями к этим плоскостям по формуле или в координатной форме , где - вектор нормали плоскости А₁х+В₁у+С₁z+D₁=0, - вектор нормали плоскости A₂x+B₂y+C₂z+D₂=0.

Пример 1. В единичном кубе АВСDA₁В₁С₁D₁ найдите угол между плоскостями АD₁Е и D₁FC, где точки Е и F-середины ребер А₁В₁ и В₁С₁ соответственно.

Решение: Введем прямоугольную систему координат с началом в точке А(0;0;0). Далее находим координаты тех точек, которые необходимы для составления уравнений плоскостей: (1;0;1), E(0;0,5;1), C(1;1;0), F(0,5;1;1). Составим уравнение плоскости (A E), используя уравнение А₁х+В₁у+С₁z+D₁=0. Подставим координаты всех трех точек в это уравнение и решим систему из трех уравнений:

А∙0 + В∙0 + С∙0 +D =0;

А∙1 + В∙0 + С∙1 +D =0;

А∙0 + В∙0,5 + С∙1 +D =0.

Получим, что А= - С, В= - 2С, D= 0. Таким образом, уравнение примет вид: х +2у – z =0.

Значит, А₁=1, В₁= 2, С₁= -1

Составим уравнение плоскости (CF ), используя уравнение А₂х+В₂у+С₂z+D₁=0. Подставим координаты всех трех точек в это уравнение и решим систему из трех уравнений:

А∙1 + В∙1 + С∙0 +D =0;

А∙1 + В∙0 + С∙1 +D =0;

А∙0,5 + В∙1 + С∙1 +D =0.

Получим, что В = С, А = 2С, D = - 3С. Таким образом, уравнение примет вид:

2х +у +z – 3 = 0. Значит, А₂₌2, В_{2 =}1, С₂₌1. По формуле: