Пример 4

Построить эпюры поперечных сил Q и изгибающих моментов для балки, изобра­женной на рис. 14а.

Решение

Изображаем в масштабе заданную расчетную схему балки (рис. 14а). Определяем опорные реакции. Ос­вобождаем балку от внешних связей и за­меняем их действие ре­ак­циями: У_А, У_В, z_В, М_В (рис. 14б).

S М_{С слева} =0,

М-У_А×а= 0,

У_А= = 1,5 qa

S Р_{i z}= 0,

z_В= 0.

Рис. 14

Для определения М_В и У_В составить не­зависимые уравнения не пред­ставляется возможным. Исполь­зуем зависимые урав­нения.

S М_В= 0, М-У_А ×5 а+qa ×3 a+qa ×2 a- М_В = 0,

откуда М_В= 1,5 qa²- 1,5 qa ×5 a+ 8 qa²= 2 qa², М_В= 2 qa².

S Р_{i z}= 0, У_А- 2 qa-qa+ У_В= 0, У_В= 1,5 qa.

Проверяем найденные реакции

S М_D= 0,

М- У_А ×3 а+q ×2 a×a+ У_В ×2 a - М_В= 1,5 qa²- 1,5.

Следовательно, опорные реакции найдены верно.

На рис. 14б проставляем значения найденных реакций. Разде­ляем расчет­ную схему на три силовых участка (рис. 14б). Записы­ваем аналитические выра­жения для поперечной силы Q и из­гибаю­щего момента М. Вычисляем значения Q и М на границах участ­ков и в экстремальных точках.

1-й участок: 0 ≤ z₁ ≤ a,

Q (z₁) = У_А = 1,5 qа;

М (z₁) = У_А×z₁-М, М (0) = -1,5 qa²,

М (а) = 1,5 qa²- 1,5 qa²=0.

2-й участок: 0 ≤ z₂ ≤ 2 a,

Q (z₂) = У_А -q z₂, Q (0) = 1,5 qа,

Q (2а) = - 0,5 qа;

М (z₂) = У_А(а+ z₂) – 1,5 qa²- , М (0) = 1,5 qa²- 1,5 qa²=0,

М (2 а) = 1,5 qa × 3а- 1,5 qa² - 2 qa² = qa².

Так как на границах участка Q. имеет разные знаки, то на эпю­ре М будет экс­тремум. Определяем экстремум:

Q (z₂) = 0, 1,5 qа - q z₂= 0, = 1,5 а;

.

3-й участок: 0 ≤ z₃ ≤ 2 a,

Q (z₃) = У_А - 2 qа - qа = - 1,5 qa;

М (z₃) = У_А( 3 а+ z₃) - 1,5 qa² – 2 qa(а+ z₃) - qa× z₃,

М (0) = 4,5 qa²- 1,5 qa² - 2 qa²= 2 qa²,

М (2 a) = 7,5 qa²- 1,5 qa² - 6 qa² - 2 qa²= - 2 qa²

5. Строим эпюры Q и М (рис. 14в,г).

6. Проверяем эпюры (п. 3.2).

Напоминаем. Изгибающий момент на шарнире С равен нулю!