Краткая теория

Л А Б О Р А Т О Р Н А Я Р А Б О Т А № 2.1. КН. 1

Определение ускорения силы тяжести

При помощи маятника

Владивосток

КРАТКАЯ ТЕОРИЯ

Колебательные процессы широко распространены в природе и технике. Колебательными называются процессы, которые обладают какой-либо степенью повторяемости.

Периодическим называется движение, в котором каждое значение изменяющейся величины повторяется через одинаковые промежутки времени.

Наименьший промежуток времени Т, по истечении которого повторяется каждое значение изменяющейся величины называется периодом колебания. Число колебаний, совершаемое в единицу времени, называется частотой колебаний.

Периодическое колебание, при котором смещение тела Х относительно положения равновесия меняется во времени по закону косинуса (или синуса) называется гармоническим колебанием. Уравнение гармонического колебания имеет вид:

Х = А (1)

A- амплитуда колебания (наибольшее смещение относительно положения равновесия).

- фаза колебания, определяющая значение смещения в данный момент времени.

φ- начальная фаза колебания, значение фазы в момент времени t = 0

ω- циклическая частота, измеряемая в радианах в секунду.

Циклическая частота связана с обычной частотой соотношением:

(2)

Покажем, что гармонические колебания тела возникают при действии на него силы, которая обладает следующими свойствами:

1. Величина силы прямо пропорциональна смещению тела от положения

2. Направление силы противоположно направлению смещения

(х>0, F<0, а при х<0,F>0) (3)

3. При Х=0, F=0

Математически такую силу можно записать

F= -КХ (4)

Такими свойствами обладает сила упругости.

Если сила не является по своей природе упругой, но подчиняется закону (4), то она является квазиупругой силой. По второму закону Ньютона под действием силы F тело массой m будет двигаться с ускорением:

Запишем уравнение динамики:

(5)

Преобразуем это уравнение:

(6)

Коэффициент при Х положителен (m>0, K>0), поэтому его можно предста-вить в виде:

(7)

Уравнение примет вид:

(8)

Таким образом, движение тела под действием квазиупругой силы описывается линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка. Одно из решений этого уравнения:

(9)

Можно проверить правильность решения, подставив (9) в (5). Для этого продифференцируем (9) по времени и найдем скорость и ускорение тела:

, (10)

(11)

Подставим (9) и (2) в уравнение (5):

, (12)

Используя соотношение (7), получим:

(13)

Решение (9) соответствует уравнению (5).

Можно найти период гармонического колебательного движения согласно (2) и (7):

T= =2π (14)

Рассмотрим гармоническое колебание под действием квазиупругой силы на примере колебаний математического маятника.

Математическим маятником называется система, состоящая из материаль-ной точки /М/, подвешенной на невесомой и нерастяжимой нити в положении материальной точки /М/. В положении /О/ на точку действуют две силы Р -сила тяжести, S- реакция нити. (рис.1)

М

Рис.1

Силы уравновешиваются, поэтому система находится в положении равно-весия. Отклоним маятник на некоторый угол о положения равновесия /вертикали/ и разложим силу тяжести Р, действующую на точку М на две составляющие F и F₁, направленные соответственно вдоль нити и перпендикулярно к ней.

Сила уравновешивается реакцией нити S. Неуравновешенной остается сила , направленная по касательной к дуге ОМ в сторону точки О.

Обозначим отрезок дуги ОМ через Х и будем считать угол и величину Х положительной при отклонении маятника вправо от вертикали, влево отрицательным. Угол, измеряемый в радианах, численно равен отношению дуги Х, на которую он опирается, к радиусу окружности.

С учетом направления действующей силы, имеем:

(15)

для малых углов отклонений от вертикали /5-6⁰/ с достаточной степенью точ-ности можно заменить sin углом в радианах.

Тогда сила, действующая на точку М, будет равна:

(16)

Если обозначим , тогда F = - KX, что совпадает с формулой (4). Под действием этой силы математический маятник будет совершать колебания с периодом:

T= =2π = 2π T=2π (17)

Из отношения (17) следует, что период колебания математического маят-ника не зависит от его массы, а определяется его длиной l и ускорением силы тяжести g, в данной точке земного шара. При больших углах отклонения маятник будет совершать более сложное колебательное движение. Период такого гармонического колебания зависит от амплитуды колебания и возрастает с её увеличением.

Из соотношения (17) можно определить ускорение силы тяжести:

g = (18)