а) общий случай
- интенсивность распределенной силы [Н/м],
- элементарная сила.
– длина отрезка
Распределенная по отрезку прямой сила интенсивности эквивалентна сосредоточенной силе .
Сосредоточенная сила прикладывается в точке С (центре параллельных сил) с координатой
б) постоянная интенсивность
в) интенсивность, меняющаяся по линейному закону
.
Центр тяжести тел.
На все точки тела, находящегося вблизи поверхности Земли, действуют силы – силы тяжести этих точек или их вес . Вообще эти силы будут сходящимися – линии действия их пересекаются в центре Земли. Но, если пренебречь размерами тела в сравнении с размерами Земли, то можно считать их параллельными.
Центр этих параллельных сил, сил тяжести точек, называется центром тяжести тела.
Значит находить центр тяжести тел можно как центр параллельных сил. Например, координаты его
(2)
где – вес каждой точки тела, а – вес всего тела.
Рис.36
При определении центра тяжести полезны несколько теорем.
1) Если однородное тело имеет плоскость симметрии, то центр тяжести его находится в этой плоскости.
Если оси х и у расположить в этой плоскости симметрии (рис.36), то для каждой точки с координатами можно отыскать точку с координатами . И координата по (2), будет равна нулю, т.к. в сумме все члены имеющие противоположные знаки, попарно уничтожаются. Значит центр тяжести расположен в плоскости симметрии.
2) Если однородное тело имеет ось симметрии, то центр тяжести тела находится на этой оси.
Действительно, в этом случае, если ось z провести по оси симметрии, для каждой точки с координатами можно отыскать точку с координатами и координаты и , вычисленные по формулам (2), окажутся равными нулю.
Аналогично доказывается и третья теорема.
3) Если однородное тело имеет центр симметрии, то центр тяжести тела находится в этой точке.
И ещё несколько замечаний.
Первое. Если тело можно разделить на части, у которых известны вес и положение центра тяжести, то незачем рассматривать каждую точку, а в формулах (2) – определять как вес соответствующей части и – как координаты её центра тяжести.
Второе. Если тело однородное, то вес отдельной части его , где - удельный вес материала, из которого сделано тело, а - объём этой части тела. И формулы (1) примут более удобный вид. Например,
И аналогично, где - объём всего тела.
Третье замечание. Если тело состоит из однородных пластин одинаковой, малой толщины, то объём каждой пластины где – площадь пластины, d – толщина. И координаты центра тяжести будут определяться только с помощью площадей:
где – координаты центра тяжести отдельных пластин; – общая площадь тела.
Четвёртое замечание. Если тело состоит из стержней, прямых или криволинейных, однородных и постоянного сечения, то вес их где li – длина, – вес единицы длины (погонного метра), а координаты центра тяжести будут определяться с помощью длин отдельных участков:
где – координаты центра тяжести -го участка;
Отметим, что согласно определению центр тяжести - это точка геометрическая; она может лежать и вне пределов данного тела (например, для кольца).
Координаты центров тяжести неоднородных тел.
Координаты центра тяжести неоднородного твердого тела в выбранной системе отсчета определяются следующим образом:
где - вес единицы объема тела (удельный вес)
- вес всего тела.
Если твердое тело представляет собой неоднородную поверхность, то координаты центра тяжести в выбранной системе отсчета определяются следующим образом:
где - вес единицы площади тела,
- вес всего тела.
Если твердое тело представляет собой неоднородную линию, то координаты центра тяжести в выбранной системе отсчета определяются следующим образом:
где - вес единицы длины тела,
- вес всего тела.
Координаты центров тяжести однородных тел.
Для однородного тела вес любой его части пропорционален объему этой части: , а вес Р всего тела пропорционален объему V этого тела , где - вес единицы объема.
Подставив эти значения Р и в предыдущие формулы, мы заметим, что в числителе как общий множитель выносится за скобку и сокращается с в знаменателе. В результате получим:
Как видно, центр тяжести однородного тела зависит только от его геометрической формы, а от величины не зависит. По этой причине точку С, координаты которой определяются формулами, называют центром тяжести объема V.
Путем аналогичных рассуждений легко найти, что если тело представляет собой однородную плоскую и тонкую пластину, то для нее
где S - площадь всей пластины, a - площади ее частей.
Точку, координаты которой определяются формулами называют центром тяжести площади S.
Точно так же получаются формулы для координат центра тяжести линии:
где L — длина всей линии, l — длины ее частей.
Таким образом, центр тяжести однородного тела определяется, как центр тяжести соответствующего объема, площади или линии.