Низкочастотный фильтр Баттеруорта /12,24/

ЦИФРОВАЯ ОБРАБОТКА СИГНАЛОВ

Digital signals processing. Digital recursive frequency filters.

Тема 10. РЕКУРСИВНЫЕ ЧАСТОТНЫЕ ЦИФРОВЫЕ ФИЛЬТРЫ

Благословен Господь, кто содеял все нужное нетрудным, а все трудное ненужным.

Григорий Сковорода. Украинский философ, ХIII в.

Рекурсивные фильтры нужны при обработке данных. Однако разрабатывать их трудно. Отсюда следует, что Всевышний фильтров не создавал, и за последствия их применения ответственности не несет.

Отец Дионисий, в миру В.Лебедев. Геофизик Уральской школы, XX в.

Содержание

Введение.

1. Низкочастотный фильтр Баттеруорта. Передаточная функция. Крутизна среза. Порядок фильтра. Преобразование Лапласа. Билинейное преобразование.

2. Высокочастотный фильтр Баттеруорта. Синтез фильтров методом частотного преобразования.

3. Полосовой фильтр Баттеруорта. Расщепление спектра. Полосовой фильтр на s-плоскости. Передаточная функция.

4. Фильтры Чебышева. Фильтры первого рода. Фильтры второго рода.

5. Дополнительные сведения.

Введение

Процесс проектирования рекурсивного частотного фильтра обычно заключается в задании необходимой передаточной характеристики фильтра в частотной области и ее аппроксимации с определенной точностью какой-либо непрерывной передаточной функцией, с последующим z-преобразованием для перехода в z-область. Первые две операции хорошо отработаны в теории аналоговой фильтрации сигналов, что позволяет использовать для проектирования цифровых фильтров большой справочный материал по аналоговым фильтрам. Последняя операция является специфичной для цифровых фильтров.

Для алгебраического преобразования непрерывной передаточной функции в многочлен по z используется билинейное преобразование, известное в теории комплексных переменных под названием дробно-линейного преобразования.

Низкочастотный фильтр Баттеруорта /12,24/.

Рис. 10.1.1. АЧХ фильтра Баттеруорта.

Передаточная функция. Гладкий вид амплитудно-частотной характеристики фильтра Баттеруорта (рис. 10.1.1) задают квадратом передаточной функции вида:

|H(W)|²= H(W)H*(W) = 1/(1+W^2N).

где W = w/w_c- нормированная частота, w_c- частота среза АЧХ фильтра, на которой |H(w)|²= 1/2 (соответственно H(w) = 0.707, или 3 дб), N - порядок фильтра, определяющий крутизну среза АЧХ. Функция |H(W)|²– представляет собой энергетический спектр сигнала (спектральную плотность мощности) и не имеет фазовой характеристики, т.е. является четной вещественной, образованной произведением двух комплексно сопряженных функций H(W) и H*(W), При W → 0 коэффициент передачи фильтра стремится к 1. Учитывая, что результаты вычислений будут относиться к цифровым фильтрам и при z-преобразовании с переходом в главный частотный диапазон произойдет искажение частот, до начала расчетов фактические значения задаваемых частотных характеристик (значения w_c, w_p и w_s) следует перевести в значения деформированных частот по выражению:

w_д= (2/Dt) tg(wDt/2), -p/Dt<w<p/Dt. (10.1.1)

Крутизна среза. Наклон частотной характеристики фильтра при переходе от области пропускания к области подавления можно характеризовать коэффициентом крутизны среза фильтра K в децибелах на октаву:

K = 20 log|H(w₂)/H(w₁)|, (10.1.2)

где w₁и w₂- частоты с интервалом в одну октаву, т.е. w₂= 2w₁.

Длительность импульсной реакции фильтра в пределах ее значимой части также зависит от крутизны среза: чем больше крутизна, тем больше длительность импульсного отклика фильтра.

Порядок фильтра. Принимая w₁=W_c, w₂=W_s и подставляя в (10.1.2) значения H(W) с приведенными данными, получим приближенное выражение для определения порядка фильтра по заданному значению К:

N = K/6. (10.1.6')

Так, для гарантированного ослабления сигнала в полосе подавления в 100 раз (40 децибел) порядок фильтра N = 7. В среднем, при изменении N на единицу коэффициент подавления сигнала изменяется на 6 децибел.

Исходные требования к передаточной функции фильтра обычно задаются в виде значений w_p, w_s и коэффициентов неравномерности (пульсаций) A_p и A_s (см. рис. 10.1.1). Для определения частоты среза w_c по уровню 0.707 и порядка фильтра введем параметр d, связанный с коэффициентом А_р следующим соотношением:

(1-А_р)² = 1/(1+d²).

d = [1/(1-А_р)] = A_p /(1-A_p). (10.1.3)

Для учета деформации частотной шкалы в процессе билинейного преобразования при переходе в дальнейшем к полиномам по Z, выполняем расчет деформированных частот w_dp и w_ds по формулам:

w_dp= 2 tg(w_pDt/2)/Dt, (10.1.4)

w_ds= 2 tg(w_sDt/2)/Dt.

При нормированной частоте W = w/w_dc, где w_dc соответственно также деформированная частота, на границах переходной зоны выполняются равенства:

1/(1+d²) = 1/[1+(w_dp/w_dc)^2N], (10.1.5)

A_s²= 1/[1+(w_ds/w_dc)^2N].

Отсюда:

d² = (w_dp/w_dc)^2N, 1/A_s²- 1= (w_ds/w_dc)^2N.

Решая эти два уравнения совместно, находим:

N = ln [d/ ] / ln(w_dp/w_ds), (10.1.6)