2015-07-02
1735
При решении некоторых заданий находят применение основные свойства модуля. Будем использовать следующие свойства модуля.
Свойства со знаком равенства
1. 
2. 
3. 
4. 
Свойства со знаком неравенства
5. 
6. 
7. 
Условие равенства: 
Условие равенства: 
8. 
Условие равенства: 
Условие равенства: 
Проиллюстрируем использование данных свойств, при решении задач.
Пример. Решим уравнение 
Решение. Заметим, что 
, следовательно, 
Следовательно, по свойству (7) уравнение равносильно неравенству 
решением которого является числовой отрезок 
.
Ответ. .
Пример. Решим систему уравнений 
Решение. Используем свойство: 
Следовательно, xy ³0, то есть x и y принимают значения одного знака. Следовательно, исходная система равносильна совокупности двух систем: 
Решением первой системы является любая пара неотрицательных чисел, сумма которых равна 1. Например, 
. Решением второй системы является пара неположительных чисел, сумма которых равна -1.
Например, 
.
Решения данной системы наглядно представлены посредством графиков на рисунке 24.
|
|
|
Рис.24
Пример. Решим систему уравнений: 
Решение. Возводя каждое уравнение в квадрат, получим систему уравнений 
равносильную исходной системе.
Последняя система имеет место при условии, что xy <0. Тогда система примет вид: 
Решим полученную систему:
или 
или 
Ответ. 
.
Пример. Найдем числа x и y такие, что 
Решение. По свойству (5) уравнение равносильно системе 
.
Решая систему, получим: 
Ответ.
