Найбільше і найменше значення функції на відрізку

Нехай у=¦(х) неперервна на відрізку [a, b], тоді відомо, що f(x) досягає свого найменшого m і найбільшого M значень. Задача полягає в тому, щоб їх знайти.

Припустимо, що на відрізку [a, b] f(x) має скінченне число критичних точок. Якщо найбільшого значення функція досягає внутрі [a, b], то це буде найбільший із максимумів. Але може бути, що найбільшого значення y=f(x) досягає на одному з кінців відрізка, тому знаходимо додатково ще f(a) i f(b).

Отже, щоб знайти найбільше значення функції y=f(x) на відрізку

[a, b] потрібно:

1) знайти всі максимуми і мінімуми f(x) внутрі відрізка;

2) обчислити її значення на кінцях відрізка, тобто f(a) i f(b).

3) із всіх знайдених значень вибрати найбільше.

Аналогічним чином знаходять найменше значення функції на відрізку.

На прикладі слідуючого рисунка маємо

Y

M

mf(a)f(b)

a x₁ x₂ x₃ b X

рис.45

M=max{f(a), f(x₂), f(b)}=f(b) – найбільше значення f(x);

m= min{f(a), f(x₁), f(x₃), f(b)}=f(x₁) – найменше значення f(x) на відрізку [a, b].