Как и в п. 2.5, оптимальная траектория будет состоять из куска одной из гипербол семейства (3) и (4) и куска линии переключения. Из рисунка видно, что если точка находится в полосе между прямыми и , то оптимальная траектория
найдется. Если же точка находится вне этой полосы или на одной из прямых , , то оптимальной траектории нет (Это объясняется тем, что в задаче имеется фазовое ограничение , так что ). |
Пусть, например, точка содержится в этой полосе левее линии переключения в верхней полуплоскости.
Тогда по одной из гипербол семейства (4) под управлением в некоторый момент дойдем до линии переключения и затем по линии переключения под управлением дойдем до точки . Эта траектория будет оптимальной, так как выполняется принцип максимума Понтрягина. |
Действительно, при , т.е. где , использовано управление , а при , т.е. , использовано управление . Это значит, что при постоянном векторе при всех (кроме ) управление выбрано так, что функция Понтрягина имеет максимальное значение – выполняется п.1) принципа максимума Понтрягина. Как было отмечено раньше, п.2) выполняется автоматически:
|
|
.
Оптимальное управление имеет вид . Аналогично определяются оптимальное управление и оптимальная траектория при других расположениях точки относительно линии переключения. |