Понятие нелинейного программирования

В большинстве инженерных задач построение математической модели не удается свести к задаче линейного программирования. Математические модели в задачах проектирования реальных объектов или технологических процессов должны отражать реальные протекающие в них физические и, как правило, нелинейные процессы. Переменные этих объектов или процессов связаны между собой физическими нелинейными законами, такими, как законы сохранения массы или энергии. Они ограничены предельными диапазонами, обеспечивающими физическую реализуемость данного объекта или процесса. В результате, большинство задач математического программирования, которые встречаются в научно-исследовательских проектах и в задачах проектирования – это задачи нелинейного программирования (НП). Пусть в математической модели проектируемого объекта или процесса непрерывная функция F() представляет собой функцию цели (качества). Выражение h₁ (), h₂ (), …, h_n () задают ограничения в виде равенств, а выражение g_m+1 (), g_m+2 (), …, g_m+p () задают ограничения в виде неравенств, где представляет собой вектор в координатами = (x₁, x₂, …, x_n), и представляет собой вектор параметров проектируемого объекта (процесса) или системы, оптимальные значения которых должны быть найдены. Тогда задача НП может быть сформулирована следующим образом: найти вектор = x₁, x₂, …, x_n, доставляющий минимум (максимум) целевой функции F () при m линейных и(или) нелинейных ограничений в виде равенств h_i () = 0 (i = 1, m) и (p-m) ограничений в виде неравенств, также линейных и(или) нелинейных: g_i () > 0 (i=m+1, p).

В течение последних десятилетий из НП выделились следующие самостоятельные разделы:

1. Выпуклое программирование;

2. Квадратичное программирование;

3. Целочисленное программирование;

4. Стохастическое программирование;

5. Динамическое программирование.

Задачи выпуклого программирования – это задачи, в которых определяется минимум выпуклой функции (или максимум вогнутой), заданной на выпуклом замкнутом множестве. Эти задачи среди задач НП наиболее изучены

Среди задач выпуклого программирования подробно изучены задачи квадратичного программирования, в которых целевая функция квадратична, а ограничения линейны.

В задачах целочисленного программирования неизвестные параметры могут принимать только целочисленные значения

В задачах стохастического программирования в целевой функции или в функциях ограничений содержатся случайные величины, которые подчиняются законам теории вероятностей.

В задачах динамического программирования ограничения содержат как параметр «время», и при этом описываются дифференциальными уравнениями.