Лекция 7. Теоремы о дифференцируемых функциях

1. Теорема. Ролля. Если функция g (x) непрерывна на отрезке [ a, b ], дифференцируема во всех внутренних точках этого отрезка и на концах обращается в нуль g (a)= g (b)=0, то существует по крайней мере одна точка a < c < b в которой производная g ¢ обращается в нуль g ¢(c)=0.

Доказательство. Так как функция непрерывна на [ a, b ], то она имеет на этом отрезке наибольшее (M) и наименьшее значение m. Пусть g (c) - наибольшее значение.

Отсюда

Переходим к пределу и получаем одновременно g ¢(с) ³ 0 и g ¢(с) £ 0, следовательно, g ¢(с)=0.

Пример функции, для которой не выполняется условие теоремы, поэтому производная внутри отрезка в 0 не обращается

1. Теорема. Лагранжа. Если функция g (x) непрерывна на отрезке [ a, b ], дифференцируема во всех внутренних точках этого отрезка, то существует по крайней мере одна точка a < c < b в которой выполняется равенство
   

1. Доказательство. Применим теорему Ролля к функции
   

1. где
   

1. Теорема. Коши. Если функции g (x) и h (x) непрерывны на отрезке [ a, b ], дифференцируемы во всех внутренних точках этого отрезка, причем h ¢(x) ¹ 0 внутри отрезка [ a, b ], то существует точка a < c < b в которой выполняется равенство
   

1. Доказательство. Применим теорему Ролля к функции
   

1. где
   

1. Теорема. Лопиталя. Пусть функции g (x) и h (x) на некотором отрезке [ a, b ] удовлетворяют условиям теоремы Kоши и обращаются в 0 в точке x = a, т.е. g (a)= h (a)=0, тогда если существует предел отношения g ¢(x)/ h ¢(x) при x ® a, то существует и
   

1. причем