Теоретическая часть

Теплота вследствие теплопроводности передается между непосредственно соприкасающимися частями тела при микродвижении элементарных частиц.

Количество теплоты, передаваемое в результате теплообмена, обозначается буквой Q и измеряется в джоулях. Количество теплоты, проходящее через какую-то поверхность в единицу времени, называется тепловым потоком и обозначается также Q, но измеряется в ваттах. Тепловой поток, приходящийся на единицу площади поверхности, называется плотностью теплового потока, обозначается q и имеет единицу величины Вт/м².

Исследование теплопроводности может быть сведено к изучению пространственно-временных изменений величин, характеризующих теплообмен. Совокупность значений температур во всех точках какого-то тела в данный момент времени t называется температурным полем этого тела. Температурное поле в декартовой системе координат задается уравнением вида

Т = ¦ (C,U,Z,t). (1)

Совокупность точек тела, имеющих одинаковую температуру, составит изотермическую поверхность. Предел отношения изменения температуры DT к расстоянию Dп по нормали между соответствующими изотермическими поверхностями при Dп ® 0 называется температурным градиентом:

(2)

Количественная оценка теплоты, проходящей внутри тела вследствие теплопроводности, базируется на основном законе теплопроводности Фурье:

или q = -l grad T, (3)

где l - теплопроводностью.

Для решения задач теплопроводности обязательным является знание поля температур, то есть пространственно-временного распределения температуры в интересующей нас области. Такое распределение подчиняется основному дифференциальному уравнению теплопроводности Фурье-Кирхгофа, в основу вывода которого положен закон Фурье. Для нестационарного теплового режима в случае твердого тела с изотропными и однородными свойствами, при постоянной теплопроводности (l(T)=const) и при внутренних источниках теплоты уравнение Фурье-Кирхгофа для декартовой системы координат имеет вид (4)

где Т – температура, [T] =1 К;

t -время, [t ] = 1 с;

a - коэффициент температуропроводности: a = lС_р r, [a] = 1 м²/с;

l - теплопроводность, [ l] = 1 Вт/(м К);

С_р – удельная теплоемкость, [С_р] = 1 Дж/(кг К);

r - плотность, [r] = 1 кг/м³;

q_v – объемное тепловыделение, [q_v] = 1 Вт/м³.

В практических случаях теплопроводность зависит от температуры и уравнение (4) имеет вид

(5)

Для решения конкретных задач дифференциальное уравнение теплопроводности используется при задании условий однозначности.

Условиями однозначности называют те дополнительные частные данные, которые характеризуют рассматриваемую задачу. Они должны включать в себя: геометрические условия, характеризующие форму и размеры тела; физические условия, характеризующие физические свойства тела, а, возможно, и среды; временные(начальные) условия, связанные с распределением температур в теле в начальный момент времени; граничные условия, характеризующие особенности протекания процессов теплообмена на границах тела.

Применим дифференциальное уравнение теплопроводности в сочетании с условиями однозначности к задаче об одномерном температурном поле. Примером может быть плоская стенка.

Плоской называют стенку, толщина которой d значительно меньше двух других характерных размеров (ширины и длины). В этом случае можно пренебречь отводом теплоты через торцы стенки, считая, что тепловой поток направлен перпендикулярно большей поверхности пластины вдоль оси Х (рис.1) Таким образом, геометрическими условиями однозначности заданы форма и размеры стенки. Физические условия однозначности заключаются в том, что известен материал стенки и, следовательно, известно значение теплопроводности l. Если считать, что материал стенки обладает изотропными и однородными свойствами, то l(T)=const.

Рисунок 1 – Распределение температур в плоской стенке

В данной лабораторной работе временные условия однозначности определены стационарным тепловым режимом, следовательно,

(6)

Рассмотрим три рода граничных условий. При граничных условиях первого рода задано распределение температур на поверхности тела. В этом случае требуется определить величину плотности теплового потока.

При граничных условиях второго рода известны величина плотности теплового потока и температура одной из поверхностей. В этом случае требуется определить неизвестную температуру другой поверхности стенки.

При граничных условиях третьего рода определяется величина плотности теплового потока, когда известны температуры сред, омывающих с разных сторон стенку, и коэффициенты теплоотдачи между поверхностями и средами. Этот случай относится к теплообмену, называемому теплопередачей.

В данной лабораторной работе в основном будут обеспечены граничные условия первого рода.

Для плоской стенки в стационарном режиме теплообмена температурное поле зависит только от одной координаты Х (рис.1) и задача в этом случае является пространственно одномерной, поскольку

. (7)

Дифференциальное уравнение теплопроводности при отсутствии объемного тепловыделения и при условии постоянства теплопроводности от температуры имеет вид

. (8)

Закон распределения температур по толщине стенки при условии, что

nри X=0 T= T_w1;

при Х=d Т= Т_w2,

найдется после двойного интегрирования уравнения (8) (9)

Величина плотности теплового потока может быть определена по выражению

[q] = 1 Вт/м² (10)

Отношение ld носит название тепловой проводимости стенки, а обратная ей величина

dl =R называется термическим сопротивлением стенки.

При необходимости определения значения теплопроводности по измеренным величинам можно использовать выражение

. (11)

В этом случае полученное значение теплопроводности следует отнести к средней температуре

Значение теплопроводности материала определяется экспериментально и преимущественно стационарным методом. Несмотря на свою методическую простоту, практическое осуществление сталкивается с трудностями создания одномерного температурного поля в исследуемых образцах и учете тепловых потерь. Стационарные методы связаны со значительным временем выхода установки на стационарный тепловой режим. Имитационные установки позволяют избежать этих трудностей.

При исследовании теплопроводности материалов, обладающих низкой теплопроводностью (l< 2,3 Вт/(м К)), широкое распространение получил метод неограниченного плоского слоя, когда образцу исследуемого материала придается форма тонкой круглой или квадратной пластины. При выборе геометрических размеров исследуемых образцов с низкой теплопроводностью необходимо выполнять условие

d £ (1/7 … 1/10) D,

где D – диаметр круглой пластины (или сторона квадрата), обеспечивающее одномерность температурного поля.

Для устранения тепловых потерь с боковых поверхностей образца используют тепловую изоляцию или охранные электрические нагреватели. Описанный метод плоского слоя и принят в данной работе.