Фундаментальным понятием теории предпочтений является бинарное отношение, поэтому необходимо изложить некоторые положения теории бинарных отношений.
Бинарное отношение R на непустом множестве Х есть подмножество множества всех упорядоченных пар элементов из Х; множество всех упорядоченных пар задается прямым произведением Запись xRy (читается: х находится в отношении R к у) означает, что (х, у) принадлежит R; аналогично не xRy (записывается как x y) означает, что (х, у) не принадлежит R, или что х. не находится в отношении R к у.
Ниже перечислены восемь возможных свойств бинарных отношений, разделенных на четыре группы. Во всех определениях предполагается, что х, у и z являются элементами множества Х. Бинарное отношение R на множестве Х является:
a) рефлексивным, если ;
b) нерефлексивным, если
c) симметричным, если из
d) асимметричным, если из
e) транзитивным, если из
f) отрицательно транзитивным, если из
g) связным, если xRy или yRx;
h) слабосвязным, если из или
Все перечисленные свойства стандартны, за исключением двух последних. Связное отношение часто называют сильно связным или полным; слабосвязное отношение также называют полным или просто связным.
|
|
Два свойства первой группы являются противоречивыми (то есть, они не могут выполняться одновременно), но этого нельзя утверждать относительно свойств остальных трех групп. Например, асимметричность и отрицательная транзитивность означают транзитивность; связность влечет слабую связность. Симметричность и асимметричность являются также противоречивыми свойствами.
Пусть Х - множество всех живых людей. Тогда отношение «выше, чем» является нерефлексивным, асимметричным, транзитивным и отрицательно транзитивным; отношение «ему (ей) столько же лет, как и» рефлексивно, транзитивно, отрицательно транзитивно и связно; отношение «является сестрой» (по крайней мере, один из родителей общий) симметрично (но почему не транзитивно); отношение «знаю имя», используемое при исследованиях пациентов с потерей памяти, не удовлетворяет ни одному из перечисленных свойств.
Транзитивное бинарное отношение называется упорядочением: или отношением порядка. К сожалению, для обозначения отношений порядка используются весьма различные термины. Например, асимметричное, транзитивное и слабосвязное отношение называют по-разному: линейным порядком, строгим упорядочением, сильным порядком, простым порядком, общим упорядочением, полным упорядочением, связным упорядочением и цепью. (Напомним, что таким отношением является отношение «больше, чем» на множестве действительных чисел.) Некоторые из только что перечисленных терминов используются также для обозначения принципов упорядочения с другими свойствами. Следовательно, когда говорят о некотором типе упорядочения, то необходимо определить, какими свойствами оно обладает.
|
|