Результат наблюдений, в который введены поправки с целью устранения систематических погрешностей, считается исправленным. Среднее арифметическое из полученных при измерении отдельных единичных наблюдений вычисляют по формуле:
, (2.20)
где — результат наблюдения; п — число единичных наблюдений.
Если во всех результатах содержится постоянная систематическая погрешность, допускается исключать ее после вычисления среднего арифметического неисправленных результатов наблюдений.
Такая запись и подсчет удобно лишь при незначительном количестве исходных данных. В случае большого их количества целесообразно использовать другой способ.
Пусть произведено п испытаний, в которых случайная величина Х приняла раз значение , раз значение , раз значение , причем . Тогда среднее значение случайной величины определится как среднее арифметическое этих значении:
(2.27)
или
(2.28)
Отметим, что отношение есть частость появления значения Х (статистическая вероятность) и, обозначив каждое из них через , получим
|
|
(2.29)
Например, пусть , , , , . Найти . Рассмат-ривая этот ряд величин, заметим, что три из них равны 20, одна — 22, одна — 24. Поэтому частота появления 20 равна 3, 22—1 и частота появления 24—1. Данные сведем в табл. 7.1.
Таким образом,
При большом числе испытаний , где — значение математической вероятности.
Таблица 2.1
0,6 | 12,0 | ||
0,2 | 4,4 | ||
0,2 | 4,8 | ||
Итого | 1,0 | 21,2 |
С учетом этого формула (2.29) примет вид
(2.30)
Эта формула используется в тех случаях, когда число членов вариационного ряда невелико. В тех случаях, когда используются интервальные ряды, т. е. группируют значения в интервалы, используют формулу
(2.31)
где — значение х в середине интервала.
Для облегчения вычислений при большом количестве интервалов удобно использовать метод произведений, приводящий к следующей формуле
(7.32)
где — выбранное условное начало, обычно равное значению Х в середине интервала; — значение, равное разности порядковых номеров между каждым интервалом, т е. ; h — ширина интервала.
Таким образом, среднее значение дискретной случайной величины, полученное суммированием произведений всех ее возможных значений на их вероятности, называют математическим ожиданием и обозначают .
Среднее арифметическое значение будет приближаться к математическому ожиданию с увеличением числа испытаний в серии, т. е. , при .
Математическое ожидание – это такая величина, около которой колеблется среднее значение случайной величины, найденное для каждой серии испытаний. В то же время математическое ожидание и среднее значение случайную величину характеризуют не полностью. Рассмотрим пример, в котором дискретные величины Х и Y заданы следующими законами распределения:
|
|
-0,04 | +0,04 | Y | -100 | +100 | |
0,3 | 0,3 | 0,3 | 0,3 |
Математические ожидания этих величин равны:
;
.
Математическое ожидание обеих случайных величин одинаково, а значения величин различны, причем значения были ближе к математическому ожиданию, чем . Таким образом, зная лишь математическое ожидание случайной величины, еще нельзя судить о возможных ее значениях и о том, как они отличаются друг от друга и как они группируются (рассеиваются) вокруг своего математического ожидания или среднего значения.
Для более полной характеристики случайной величины используется такая характеристика как дисперсия , определяющая величину рассеивания случайной величины от ее математического ожидания.