yi(k) – y0 = h Aj(i) f(xj, yj(k-1)). (8.5)
Коэффициенты Aj(i) системы (8.5) находятся из решения системы линейных алгебраических уравнений:
= Aj(i) jk-1; k=1,…n+1;i=1,…n. (8.6)
Система (8.6) получена из условия, что формула (8.5) точна для всех функций вида x, x2, x3,…, xn+1 в точках xi = ih, i=0,…,n.
Пусть n =2, дано три точки (x0,x1,x2). Тогда матрица коэффициентов Aj(i) равна
A= .
Для m =4, пять точек (x0, x1, x2, x3, x4).
A= .
Численная реализация может быть выполнена следующим образом.
Шаг 1. Исходный интервал делим на 4 части, т. е. задаем m = 4. Определяем сетку xi=a+ih0, i =0,1,…,4, где h0 = (a+b)/ 4 - шаг исходной сетки. Вычисляем по формулам (8.5) yi(n), i= 1,…,4, пока не выполнится условие max < e, по всем i, где e - заданная точность.
Шаг 2. Делим интервал на 8 частей, т. е. уменьшаем шаг вдвое и находим yi на сетках:
= a+ih1, i =1,…,4; h1=h0 /2;
= (b+a)/2+ih1, i =1,…,4.
Затем проверяем условие max < e в узлах первой сетки (с шагом h0). Если оно выполняется, то вычисления заканчиваем. Если не выполняется, то исходный интервал уменьшаем вдвое, т. е. a1=a; b1=(a+b)/2, и переходим на шаг 1, где a=a1; b=b1.