Югорский государственный университет

Факультет заочного обучения

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

по дисциплине «Информатика и математика»

Выполнил: студент

группы № ЗБ-6142

Швецов Артём Иосифович

Проверил: Старший преподаватель

Розенко Елена Анатольевна

Ханты-Мансийск 2015 г.

Вариант № 5.

1. Доказать тождественную истинность формулы:

A ⇒ (B ⇒ (A ∧ B))

Решение:

Для доказательства тождественной истинности составляем таблицу.

А·В	А^В	B→(A^B)	A→(B→A^B)
0·0
0·1
1·0
1·1

Так как на всех 4-х наборах значений, формула принимает истинное значение, то мы доказываем, что она тождественна истина.

Ответ: согласно определению, формула называется тождественно истинной, если она принимает значение «истина» при всех значениях, входящих в нее переменных, следовательно, формула A ⇒ (B ⇒ (A ∧ B)) тождественна истина, что и требовалось доказать.

2. При проверке документов было выявлено 26 граждан, не имеющих при себе документов, удостоверяющих личность, среди которых оказалось 9 женщин. Случайным образом на допрос вызываются 7 человек. Определить вероятность того, что среди них окажутся 4 женщины.

Решение:

, - формула классической вероятности,

где – число исходов для событий, – число всех возможных.

Так как из группы в 26 человек, 7 состоит в выборе, найдем число всех возможных по формуле:

- общее число из элементов по

Итак:

Далее - событие А= среди выбранных 7 человек окажутся 4 женщин.

Нам необходимо выбрать 4-х женщин из 9 и 3 мужчин из 17. Используем для этого правило произведения:

Итак:

Ответ: вероятность того, что на допрос вызвали 4-х женщин,равна 0,0145.

3. Вероятность найти преступника «по горячим следам» равна 0,8, в течение недели после совершения преступления 0,6, после первой недели – 0,4. Определить вероятность того, что: а) преступник будет найден; б) преступник не будет найден.

Решение:

Обозначаем через = «преступник найден по горячим следам»

Через В = «преступник найден в течение недели»

Через С = «преступник найден после первой недели»

a) Событие D = «преступник будет найден»

Используем формулу D = A+Ā·В+Ā· ·С – оно реализовано из того, что преступления найдут «по горячим следам» или если по «горячим следам» не найдут, то найдут в течение недели, либо после первой недели

Используем теоремы:

1) Сумма несовместимых событий: Р (А+В)=Р(А)+Р(В);

2) Вероятность противоположенного события: Р(Ā)=1-Р(А);

3) Произведение двух независимых событий: Р(А·В)=Р(А)·Р(В),

Итак, Р(D)=Р(А)+(1-Р(А))·Р(В)+(1-Р(А))·(1-Р(В))·Р(С)=

=0,8+0,2·0,6+0,2·0,4·0,4=0,8+0,12+0,032=0,952

b) Событие Е = «преступник не будет найден» является противоположенным событием к событию D, следовательно:

Р (Е)=1-Р(D)=1-0,952=0,048

Ответ: вероятность того, что: а) преступник будет найден равна 0,952; б) преступник не будет найден равна 0,048.

4. В больницу поступило 9 пациентов с различными ранениями, среди которых: 5 – ножевыми, 3 – огнестрельными и 2 осколочными. Вероятность выжить после ножевого ранения: 0,6, после огнестрельного: 0,4, после осколочного: 0,5. Случайный пациент выжил после ранения. Определить вероятность того, что им оказался пациент с осколочным ранением.

Решение:

Для решения этой задачи, используем формулу Байеса и формулу полной вероятности.

Определяем гипотезы Hί;

пациент с ножевым ранением,

с огнестрельным,

с осколочным.

Так как поступило всего 9 пациентов, из которых 5 с ножевым, 2 с осколочным и 3 с огнестрельными ранениями, то по формуле классической вероятности:

получим

; ; .

Событие A= пациент выжил.

По условию задачи, условные вероятности равны

; ;

По формуле полной вероятности:

Событие А свершилось, пациент А жив. Вероятность того, что это был пациент с осколочным ранением, находим по формуле Байеса:

Ответ: вероятность того, что пациент с осколочным ранением выжил, равна 0,192.