Теорема Лагранжа

Если функция f(x):

— непрерывна на отрезке [a, b],

— дифференцируема на интервале (a, b),

тогда найдётся такая точка ξ (а,b), в которой выполняется соотношение

Вопрос: Как с помощью соотношения (*) получить (**)?

Ответ: Ввести функцию g(x) = х. Поскольку

З адача 1

Задача 2

Пусть функция f(x) дифференцируема на отрезке [а, b] и имеет на этом отрезке n нулей. Показать, что f'(x) имеет на этом отрезке нулей не меньше чем n -1.

По условию

Тогда на отрезках

выполнены условия теоремы Ролля, а значит найдутся точки

З адача 3 (метод Ньютона)

Пусть монотонная функция f(x) дифференцируема на отрезке [а, b] и имеет на этом отрезке нуль. Получить с помощью уравнения касательной алгоритм нахождения нуля функции

Теперь проведём касательную через точку х 1, которая пересе­чет ось абсцисс в точке х 2

Продолжая этот процесс, получим искомый алгоритм: