Примеры

1. Определим тип экстремума функции y = x ³ - 3 x + 7 при х = 1. Точка х = 1 является критической, так как y’ = 3 x ² - 3 x = 0 при х = 1. Так как при x < 1 y’ < 0, а при x > 1 y’ > 0, x =1 – точка минимума. Можно было установить этот факт и с помощью второй производной: y’’ = 6 x – 3 = 3 > 0 при х = 1. Следовательно, функция в этой точке достигает минимума (теорема 4).

2. Исследуем на экстремум функцию y = x ⁵ + x ³. y’ = 5 x ⁴ + 3 x ² = x ²(5 x ² + 3) = 0 при х = 0. При этом y’’ = 20 x ³ + 6 x = 0 при х = 0, y’’’ = 60 x ² + 6 = 6 ≠ 0 при х = 0. Порядок первой ненулевой производной в точке х = 0 равен нечетному числу 3, следовательно, по теореме 5 функция не имеет экстремума в этой точке, а так как критическая точка единственна, функция вообще не имеет экстремумов.

Наибольшее и наименьшее значения функции,

Дифференцируемой на отрезке

Пусть функция y = f(x) дифференцируема на отрезке [ ab ]. Тогда она непрерывна на нем, и по свойству функции, непрерывной на отрезке, достигает на этом отрезке своего наибольшего и наименьшего значения. Если f(x) имеет на [ ab ] конечное число критических точек, то ее наибольшее значение будет либо одним из ее максимумов (а именно, наибольшим максимумом), либо будет достигаться в одной из конечных точек отрезка. То же можно сказать и о наименьшем значении. Из сказанного следует, что поиск наибольшего и наименьшего значений дифференцируемой функции на отрезке можно проводить по следующей схеме:

1) найти критические точки функции, принадлежащие данному отрезку;

2) вычислить значения функции в точках а и b, а также в найденных критических точках. Наименьшее из полученных чисел будет наименьшим значением функции на данном отрезке, а наибольшее – ее наибольшим значением на нем.

Пример.

Найдем наибольшее и наименьшее значения функции y = x ³ + 3 x ² - 9 x –15

на отрезке [-4, 4]. y’ = 3 x ² + 6 x – 9 = 0 при х = -3 и х =1. При этом обе найденные критические точки принадлежат данному отрезку. Вычислим значения функции при х = -4, х = -3, х = 1 и х =4.

Таким образом, наибольшее значение функции на рассматриваемом отрезке равно 61 и принимается на его правой границе, а наименьшее равно –20 и достигается в точке минимума внутри отрезка.

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ПО ТЕМЕ

«Монотонность и экстремумы»