Примеры

1. z = xy, z = x ² + y ² - функции, определенные для любых действительных значений х,у.

2.

функция, областью определения которой являются решения неравенства

Замечание. Так как пару чисел (х,у) можно считать координатами некоторой точки на плоскости, будем впоследствии использовать термин «точка» для пары аргументов функции двух переменных, а также для упорядоченного набора чисел (х ₁, х ₂,…, х_п), являющихся аргументами функции нескольких переменных.

Переменная z (с областью изменения Z)называется функцией нескольких независимых переменных х ₁, х ₂,…, х_п в множестве М, если каждому набору чисел (х ₁, х ₂,…, х_п) из множества М по некоторому правилу или закону ставится в соответствие одно определенное значение z из Z. Понятия аргументов и области определения вводятся так же, как для функции двух переменных.

Обозначения:

Геометрическое изображение функции двух переменных

Рассмотрим функцию z = f(x,y), определенную в некоторой области М на плоскости О ху. Тогда множество точек трехмерного пространства с координатами (x,y,z), где

является графиком функции двух переменных. Поскольку уравнение z = f(x,y) определяет некоторую поверхность в трехмерном пространстве, она и будет геометрическим изображением рассматриваемой функции.

Рис. 1

Примерами могут служить уравнения плоскости

z = ax + by + c

и поверхностей второго порядка:

z = x ² + y ² (параболоид вращения),

(конус) и т.д.

Замечание. Для функции трех и более переменных будем пользоваться термином «поверхность в n -мерном пространстве», хотя изобразить подобную поверхность невозможно.

Линии и поверхности уровня

Для функции двух переменных, заданной уравнением z = f(x,y), можно рассмотреть множество точек (х,у) плоскости О ху, для которых z принимает одно и то же постоянное значение, то есть z = const. Эти точки образуют на плоскости линию, называемую линией уровня.