Электрический диполь во внешнем электрическом поле

Рассмотрим, каким воздействиям подвергается электрический диполь с электрическим моментом во внешнем электростатическом поле . В этих условиях он испытывает действие силы

,

(2.8)

момента

(2.9)

и приобретает потенциальную энергию

.

(2.10)

В процессе вывода соотношений (2.8) - (2.10) станет ясен математический и физический смысл приведенных выражений.

Перед началом выкладок напомним некоторые сведения из математического анализа. Для скалярной функции одного переменного справедливо приближенное выражение

.

(2.11)

Это соотношение легко обобщается для случая скалярной функции нескольких пространственных переменных:

(2.12)

Если -радиус-вектор произвольной точки пространства, - малый произвольный вектор с компонентами , то выше приведенное выражение можно записать в форме:

,

(2.13)

формально

,

(2.14)

причем соотношение (2.14) справедливо в декартовой системе координат.

Для векторной величины соотношение (2.13) можно записать для каждой компоненты отдельно, а в компактной форме записи получить:

(2.15)

Зависимости (2.13) и (2.15) являются обобщением отрезка ряда Тейлора для скалярной функции одного переменного (2.11) на многомерный случай скалярного и векторного полей.

Рис. 2.3. Электрический диполь во внешнем электростатическом поле

Рассчитаем силу, действующую на электрический диполь во внешнем электростатическом поле (рис. 2.3). На рис 2.3 - радиус-вектор точки расположения отрицательного заряда диполя, а - радиус-вектор точки расположения положительного заряда диполя. Суммарная сила, действующая на рассматриваемую систему электрических зарядов описывается выражением:

.

(2.16)

С учетом приведенного выше соотношения (2.15) получим

.

Результат (2.8) получен. Заметим, что зависимость (2.8) в случае однородного электрического поля обращается в нуль.

Для момента сил, действующих на рассматриваемую систему электрических зарядов, относительно начала координат имеем:

(2.17)

Если в выражении (2.17) использовать соотношение (2.15) для вычисления и в полученном соотношении пренебречь членом с сомножителем из-за его малости, приходим к результату:

(2.18)

где

определено соотношением (2.8).

Рис. 2.4. Момент сил, действующий на электрический диполь во внешнем

Если рассчитывать момент сил (2.18) относительно точки расположения отрицательного заряда диполя, то получаем и приходим к соотношению (2.9). Тот же результат получается и при расчете момента сил (2.18)относительно центра масс системы электрических зарядов.

Рассчитаем величину потенциальной энергии, приобретаемой электрическим диполем во внешнем электрическом поле. Будем исходить из очевидного соотношения:

.

(2.19)

С помощью формулы (2.13) преобразуем соотношение (2.19):

,

(2.20)

где - угол между вектором и направлением напряженности электростатического поля

. Таким образом, соотношения (2.8) - (2.10) доказаны.

Рис. 2.5. Потенциальная энергия электрического диполя в однородном электростатическом поле в зависимости от ориентации диполя

Обсудим некоторые следствия полученных результатов. Из формулы (2.8), в частности, следует, что только в неоднородном поле возникает сила, действующая на диполь как на систему зарядов. Из формулы (2.20) следует, что потенциальная энергия системы будет минимальна, если направления векторов и совпадают между собой (,

). В этом состоянии момент сил (2.9) обращается в ноль.

Рис. 2.6. Сила, действующая на электрический диполь в поле точечного положительного заряда.

В целом электростатическое поле

1. стремится развернуть электрический диполь вдоль силовой линии электрического поля;

2. стремится сдвинуть электрический диполь вдоль силовой линии векторного поля в сторону больших значений величины ;

3. при повороте вектора дипольного момента относительно силовой линии поля возникает "возвращающий" момент сил, в гармоническом приближении пропорциональный углу поворота.

7) Теорема Гаусса для вектора Е.

Теорема Остроградского - Гаусса (закон Гаусса) — один из основных законов электродинамики, входит в систему уравнений Максвелла. Выражает связь (а именно равенство с точностью до постоянного коэффициента) между потоком напряжённости электрического поля сквозь замкнутую поверхность и зарядом в объёме, ограниченном этой поверхностью. Применяется отдельно для вычисления электростатических полей.

Общая формулировка: Поток вектора напряжённости электрического поля через любую произвольно выбранную замкнутую поверхность пропорционален заключённому внутри этой поверхностиэлектрическому заряду.

СГС	СИ

где

· — поток вектора напряжённости электрического поля через замкнутую поверхность .

· — полный заряд, содержащийся в объёме, который ограничивает поверхность .

· — электрическая постоянная.

Данное выражение представляет собой теорему Гаусса в интегральной форме.

· Замечание: поток вектора напряжённости через поверхность не зависит от распределения заряда (расположения зарядов) внутри поверхности.

В дифференциальной форме теорема Гаусса выражается следующим образом:

СГС	СИ

Здесь — объёмная плотность заряда (в случае присутствия среды — суммарная плотность свободных и связанных зарядов), а — оператор набла.

· Теорема Гаусса может быть доказана как теорема в электростатике исходя из закона Кулона (см. ниже). Формула однако также верна в электродинамике, хотя в ней она чаще всего не выступает в качестве доказываемой теоремы, а выступает в качестве постулируемого уравнения (в этом смысле и контексте ее логичнее называть законом Гаусса ^[2].

8) Следствия из теоремы Гаусса для вектора Е (3 примера)

9) Проводники в электрическом поле.

Вещество или материальное тело, в котором имеются заряды, способные переносить электрический ток, называется проводником. В металлах переносчиками тока служат свободные (т.е. не привязанные к атомам) электроны, в электролитах — ионы, в плазме — и электроны, и ионы. Для электростатических явлений поле внутри проводника равно нулю:

E→in ≡ 0.

Механизм исчезновения электрического поля в проводниках связан со смещением свободных зарядов ровно настолько, чтобы как раз компенсировать внешнее электрическое поле, если таковое имеется. При изменении внешнего поля свободные заряды в проводнике перераспределяются, а в момент перераспределения в проводнике течет ток. Пример такой компенсации внутри проводящей пластины изображен на рис. 1.25.

Рис. 1.25: Проводящая пластина в однородном электрическом поле и распределение плотности заряда в объёме проводника. В плазме толщина заряженного слоя на поверхности составляет несколько радиусов Дебая, в металле — несколько длин Ферми.

Поскольку E→in = 0, то и плотность заряда внутри проводника также равна нулю:

ρin = 1 4π divE→in ≡ 0.

Заряды, компенсирующие внешнее поле, могут размещаться только на поверхности проводника. В связи с этим говорят, что проводник квазинейтрален. По аналогии с объёмной плотностью заряда ρ = limΔV →0Δq∕ΔV, поверхностную плотность определяют, как предел отношения заряда на физически малом участке поверхности Δq к площади этого участка ΔS:

σ = limΔS→0Δq∕ΔS.

Все точки проводника имеют одинаковый потенциал, так как gradϕin = −E→in = 0. Поверхность проводника также эквипотенциальна. Следовательно, электрическое поле перпендикулярно к ней. Этот факт иногда формулируют в виде равенства нулю тангенциальной (касательной к поверхности проводника) проекции внешнего электрического поля E→t = [[n→,E→],n→]:

E→t = 0.

Здесь и далее n→ обозначает внешнюю нормаль к поверхности проводника.

Рис. 1.26: Поток через верхнюю грань параллелепипеда, натянутого на элемент поверхности S, равен En S; поток через остальные грани равен нулю. Сравнивая En S с полным зарядом 4π σ S внутри параллелепипеда, получаем граничное условие En = 4πσ.

Нормальная компонента электрического поля на поверхности проводника En = (n→,E→) однозначно связана с поверхностной плотностью зарядов. Применяя теорему Гаусса к параллелепипеду, натянутому на элемент поверхности проводника (рис. 1.26), получаем:

E→n = 4πσ.

Обычно распределение зарядов σ по поверхности проводника неизвестно. Если нужно, его находят в результате решения задачи (см. след. параграф). Однако одну существенную закономерность можно указать из качественных соображений (Б.Франклин, 1747 г.). Так как одноименные заряды (заряды одного знака) отталкиваются, они стремятся разойтись в проводнике как можно дальше. Это приводит к накоплению зарядов на наиболее удаленных участках проводников, например на остриях. Поле вблизи острия можно приближенно представить, как поле заряженной сферы того же радиуса кривизны r. Отсюда можно оценить напряженность электрического поля и поверхностную плотность заряда 4πσ ∼ E ∼ ϕ∕r, где ϕ — потенциал проводника относительно соседних тел. При этом полезно отметить, что полный заряд острия q ∼ πr2σ ∼ ϕr все-таки составляет малую долю заряда всего проводящего тела Q ∼ ϕR, где R — его характерный размер.

10) Диэлектрики

Диэлектрическими называют материалы, основным электрическим свойством которых является способность к поляризации и в которых возможно существование электростатического поля. Реальный (технический) диэлектрик тем более приближается к идеальному, чем меньше его удельная проводимость и чем слабее у него выражены замедленные механизмы поляризации, связанные с рассеиванием электрической энергии и выделением, теплоты.

При применении диэлектриков — одного из наиболее обширных классов электротехнических материалов — довольно четко определилась необходимость использования как пассивных, так и активных свойств этих материалов.

Пассивные свойства диэлектрических материалов используются, когда их применяют в качестве электроизоляционных материалов и диэлектриков конденсаторов обычных типов. Электроизоляционными материалами называют диэлектрики, которые не допускают утечки электрических зарядов, т.е. с их помощью отделяют электрические цепи друг от друга или токоведущие части устройств, приборов и аппаратов от проводящих, но не токоведущих частей (от корпуса, от земли). В этих случаях диэлектрическая проницаемость материала не играет особой роли или она должна быть возможно меньшей, чтобы не вносить в схемы паразитных емкостей. Если материал используется в качестве диэлектрика конденсатора определенной емкости и наименьших размеров, то при прочих равных условиях желательно, чтобы этот материал имел большую диэлектрическую проницаемость.

Активными (управляемыми) диэлектриками являются сегнетоэлектрики, пьезоэлектрики, пироэлектрики, электролюминофоры, материалы для излучателей и затворов в лазерной технике, электреты и др.

В зависимости от влияния напряженности электрического поля на значение относительной диэлектрической проницаемости материала все диэлектрики подразделяют на линейные и нелинейные.

Для линейных диэлектриков с малыми потерями энергии зависимость заряда конденсатора от напряжения (переменной полярности) имеет вид прямой; для нелинейных диэлектриков (сегнетоэлектриков) в этих условиях зависимость заряда от напряжения принимает форму петли гистерезиса (см. рис. далее).

Неполярными диэлектриками являются газы, жидкости и твердые вещества в кристаллическом и аморфном состояниях, обладающие в основном только электронной поляризацией. К ним относятся водород, бензол, парафин, сера, полиэтилен и др.

Полярные (дипольные) диэлектрики — это органические жидкие, полужидкие и твердые вещества, имеющие одновременно дипольно-релаксационную и электронную поляризации. К ним относятся нитробензол, кремнийорганические соединения, фенолформальдегидные смолы, эпоксидные компаунды, хлорированные углеводороды, капрон и др.

11)Теорема Гауса для вектора D

В диэлектрической среде могут присутствовать электрические заряды двух типов: "свободные" и "связанные". Первые из них не связаны с молекулярной структурой вещества и, как правило, могут относительно свободно перемещаться в пространстве. Вторые связаны с молекулярной структурой вещества и под действием электрического поля могут смещаться из положения равновесия, как правило, на очень малые расстояния.

Использование напрямую теоремы Гаусса для векторного поля при описании диэлектрической среды неудобно тем, что правая часть формулы

(2.30)

содержит как величину "свободного", так и величину "связанного" (некомпенсированного) зарядов внутри замкнутой поверхности .

Если соотношение (2.30) почленно сложить с соотношением (2.28), получим

,

(2.31)

где - суммарный "свободный" заряд объема, охватываемого замкнутой поверхность . Соотношение (2.31) обуславливает целесообразность введения специального вектора

(2.32)

в качестве удобной расчетной величины, характеризующей электрическое поле в диэлектрической среде. Вектор раньше называли вектором электрической индукции или вектором электрического смещения. В настоящее время входит в употребление термин "вектор ".

Для векторного поля справедлива интегральная форма теоремы Гаусса:

(2.33)

и, соответственно, дифференциальная форма теоремы Гаусса:

(2.34)

где - объемная плотность свободных зарядов.

Если справедливо соотношение (2.27) (для жестких электретов оно не справедливо), то для вектора из определения (2.32) следует

,

(2.35)

где - диэлектрическая проницаемость среды, одна из важнейших электрических характеристик вещества. В электростатике и квазистационарной электродинамике величина является действительной. При рассмотрении высокочастотных колебательных процессов фаза колебания вектора , а значит и вектора , может не совпадать с фазой колебаний вектора , в таких случаях величина становится комплекснозначной величиной.

Рассмотрим вопрос, при каких условиях в диэлектрической среде возможно появление некомпенсированной объемной плотности связанных зарядов. Для этой цели запишем выражение вектора поляризации через диэлектрическую проницаемость среды и вектор :

(2.36)

в справедливости которого легко убедиться. Теперь представляющая интерес величина может быть вычислена:

(2.37)

В отсутствие в диэлектрической среде объемной плотности свободных зарядов величина может обратиться в нуль, если

а) отсутствует поле ;

или б) среда однородна

или в) векторы и - ортогональны.

В общем случае необходимо вычислить величину по соотношениям (2.37).

12)Граничные условия для векторов Е и D

На поверхности раздела двух диэлектриков с различными абсолютными диэлектрическими проницаемостями e₁ и e₂ (рис. 1.3) равны между собой касательные составляющие напряженности поля

(1.13)

и нормальные составляющие вектора электрического смещения

(1.14)

Здесь индекс 1 относится к первому диэлектрику, а индекс 2 – ко второму.

Условия (1.13) и (1.14) можно представить и в таком виде

и .

Из данных граничных условий можно получить еще одно условие – условие преломления линий поля при переходе их из одного диэлектрика в другой:

,

где

q₁ и q₂ – углы между вектором напряженности (или смещения) и нормалями к границе раздела сред.

При этом, если вектор напряженности перпендикулярен к границе раздела, то электрическое смещение не меняется при переходе из одной среды в другую, а напряженность поля меняется скачком.