Решение систем линейных уравнений

Пусть задана система линейных уравнений с неизвестными

(1)

Числа — коэффициенты при переменной в м уравнении называются коэффициентами системы (1), а матрица

(2)

называется матрицей системы (1). Вектор называют правой частью системы (1). Система чисел (вектор) называется решением системы уравнений (1), если числа удовлетворяют этим уравнениям.

Алгоритм решения системы линейных уравнений (1) методом Крамера опирается на следующую теорему

Если определитель системы линейных уравнений (1) не равен нулю, т.е. , то система (1) имеет единственное решение для любой правой части В, вычисляемое по формулам (Крамера)

(3)

где — дополнительный определитель, получаемый из определителя , если в нём заменить числа го столбца соответственно на числа :

(4)

В матричной форме систему n линейных уравнений с n неизвестными можно записать в виде:

(5)

Алгоритм решения системы линейных уравнений (1) методом обратной матрицы опирается на следующую формулу

, (6)

где — обратная матрица для матрицы А.

Следует отметить, что обратная матрица существует только для невырожденной матрицы , т.е. когда .

Пример

Решить системы линейных уравнений методом Крамера и обратной матрицы.