Интегралы уравнений движения идеальной жидкости

Предварительно сделаем несколько замечаний и определений.

1. Потенциал объемных сил, обычно обозначаемый как U, определяется следующим равенством:

Где X, J, Z - проекции ускорения внешних массовых сил на оси декартовой системы координат.

2. Если плотность среды зависит только от давления, но не зависит от температуры, то такая среда называется баротропной и в этом случае

(в частности, если при всяком процессе среду можно считать баротропной).

Если среда баротропна, то является функцией только давления p; в этом случае возможно ввести функцию П, определяемую так:

или

Функцию можно найти, если задано Например, если среда несжимаема и ρ=const, то . Если среда сжимаема, то процесс течения является адиабатическим, и тогда следовательно

Из равенства

следует:

3. Если движение потенциальное, то вектор вихря равен нулю и ; при этом существует потенциал скорости – скалярная, определяемая равенствами:

Уравнение движения идеальной жидкости имеет вид:

При интегрировании его производится определение работы внешних сил, приводящей к изменению кинетической энергии частицы жидкости. С этой целью все члены уравнения умножаются скалярно на вектор элементарного перемещения ; в результате получаем скалярную величину – энергию. Поэтому в дальнейшем необходимо иметь в виду, что умножение на элемент перемещения и сложение переменных произведением относится к вычислению скалярного произведения, которое затем подвергается интегрированию.