2015-07-21
3409
Система с n неизвестными называется симметрической, если она не меняется при перестановки неизвестных.
Симметрическая система двух уравнений с двумя неизвестными х и у решается подстановкой
u = х + у, v = ху. Заметим, что встречающиеся выражения в симметрических системах выражаются через u и v. Приведем несколько таких примеров, представляющих несомненный интерес для решения многих симметрических систем:
х2 + у2 = (х + у)2 - 2ху = u2 - 2v,
х3 + у3 = (х + у)(х2 -ху + у2) = u (u2 - 2v – v) = u3 - 3uv,
х4 + у4 = (х2 + у2)2 - 2х2у2 = (u2 - 2v)2 - 2v2 = u4 - 4u2v + 2v2,
х2 + ху + у2 = u2 - 2v + v = u2 - v и т.д.
Симметрическая система трех уравнений относительно неизвестных х у, z решаются подстановкой х + у + z = u, ху + уz + хz = w. Если найдены u, v, w, то составляется кубическое уравнение t2 – ut2 + vt – w = 0, корни которого t1, t2, t3 в различных перестановках являются решениями исходной системы. Наиболее часто встречающиеся выражения в таких системах выражаются через u, v, w следующим образом:
х2 + у2 + z2 = u2 - 2v
х3 + у3 + z3 = u3 - 3uv + 3w
Пример № 1:
х2 + ху + у2 =13,
х + у = 4
|
|
|
Пусть х + у = u, ху = v.
u2 – v = 13,
u = 4
16 – v = 13,
u = 4
v = 3,
u = 4
Произведем обратную замену.
х + у = 4,
ху = 3
х = 4 – у
ху = 3
х = 4 – у,
(4 – у) у = 3
х = 4 – у,
у1 = 3; у2 = 1
х1 = 1, х2 = 3,
у1 = 3, у2 = 1
Ответ: (1; 3); (3; 1).
Пример № 2:
х3 + у3 = 28,
х + у = 4
Пусть х + у = u, ху = v.
u3 – 3uv = 28,
u = 4
64 – 12 v = 28,
u = 4
-12v = -36
u = 4
v = 3,
u = 4
Произведем обратную замену.
х + у = 4,
ху = 3
х = 4 – у
ху = 3
х = 4 – у,
(4 – у) у = 3
х = 4 – у,
у1 = 3; у2 = 1
х1 = 1, х2 = 3,
у1 = 3, у2 = 1
Ответ: (1; 3); (3; 1).
Пример № 3:
х + у + ху = 7,
х2 + у2 + ху = 13
Пусть х =у = u, ху =v.
 |
u + v = 7, u2 – v = 13
u2 – v = 13 u2 – 7 + u =13
u2 + u = 20
v = 7 – u, u (u + 1) =20
u2 – v =13 u = 4
v = 7 – u,
u = 4
v = 3,
u = 4
Произведем обратную замену.
х + у = 4,
ху = 3
х = 4 – у
ху = 3
х = 4 – у,
(4 – у) у = 3
х = 4 – у,
у1 = 3; у2 = 1
х1 = 1, х2 = 3,
у1 = 3, у2 = 1
Ответ: (1; 3); (3; 1).
