Расчет дифракционной картины от двух щелей

Имеем физическую ситуацию опыта 2. Положим, что источник электромагнитных волн находится очень далеко от экрана, так что на щели падает плоская электромагнитная волна. Расстояние между щелями 2b, расстояние от экрана со щелями до экрана D, на котором наблюдается дифракционная картина, - L. Пусть ширина щелей гораздо меньше длины волны l, так что вторичные волны, приходящие в точку наблюдения от разных участков щели, имеют практически одинаковые фазы.

Рассчитаем распределение интенсивности электромагнитной волны на экране D как функцию расстояния x от плоскости симметрии до точки наблюдения. Так как напряженность электромагнитной волны в каждой точке представляет собой гармонические колебания, воспользуемся методом векторных диаграмм. Вклад верхней щели в напряженность электрического поля в точке x равен .Вклад нижней щели - .Результирующая напряженность в точке x - E(x)= E1+E2, то есть
. (4)

И первое и второе слагаемые в уравнении (4) равны проекциям на ось ординат векторов с модулями и , вращающимися с одинаковыми угловыми скоростями w. Их сумма равна проекции на ось ординат суммы векторов. Амплитуда колебаний напряженности электрического поля волны Eо(x) равна модулю вращающегося вектора суммы E1+Е2. По теореме косинусов, он равен
, (5)
где j - угол между направлениями складывающихся векторов. Интенсивностьволны I(x) пропорциональна квадрату амплитуды напряженности:
(6)
Угол между направлениями складывающихся векторов j равен разности фаз вкладов: .При изменении положения приемника x изменяется разность хода l2 -l1и соответственно изменяется, проходя максимумы и минимумы, интенсивность I(x).

Выразим разность фаз через отклонение x. Из чертежа находим
(7)
При x, b<<L эта разность приблизительно равна
(8)
Условие максимума j=2pN (N - целое), что для положений xmax дает
(9)
Положения минимумов -
. (10)

Формула (6) с подстановкой вычисленной разности фаз j хорошо описывает экспериментальное распределение интенсивности.

Задача 1. Плоская электромагнитная волна падает на экран с двумя щелями под углом a. Расстояние между щелями равно 2b, расстояние от щелей до экрана, на котором наблюдается дифракционная картина, равно L. Найдите распределение интенсивности электромагнитной волны вдоль экрана, как функциюрасстояния до оси симметрии установки x. Определите положения нулевого и первого дифракционных максимумов.

Решение. При наклонном падении электромагнитной волны на экран со щелями гребень волны вначале падает на верхнюю щель, и только через некоторое время - на нижнюю. Колебания электрического поля в щелях происходит не в фазе. Фаза колебаний в нижней щели отстает от фазы колебаний в верхней щели на d=4pb sina/l (2b sina - для волны, попадающей в верхнюю и нижнюю щели). Если вклад верхней щели в напряженность электрического поля в точке x равен ,товклад нижней щели - .Результирующая напряженность в точке x - E(x)= E1+ E2, т.е.
. (11)

И первое и второе слагаемые в уравнении (4) равны проекциям на ось ординат векторов с модулями и , вращающихся с одинаковыми угловыми скоростями w. Их сумма равна проекции на ось ординат суммы векторов. По теореме косинусов, модуль суммы -
, (12)
где j - угол между направлениями складывающихся векторов, Eо(x) - амплитуда. Интенсивностьволны I(x) пропорциональна квадрату амплитуды напряженности:
(13)
Угол между направлениями складывающихся векторов j равен разности фаз вкладов: Повторяя вычисления (7) - (8), находим:
(14)

Условие максимума j=2pN, что для положений xmax дает:
(15)
Из формулы (15) следует, что положение каждого из максимумов сдвинуто на L sina.

Здесь надо иметь в виду, что при расчетах предполагалисьмалые отклонения от плоскости симметрии установки. Для произвольных отклонений роль L играет величина L/cosa. Это позволяет сделать вывод о том, что дифракционная картина при наклонном падении смещена вниз на Ltga и растянута в 1/cosa раз.

Полученный результат при некоторой модификации может быть использован для решения задачи 3 домашнего задания.

Задача 2. Одна из щелей в описанном выше дифракционном опыте толще другой в q раз, поэтому можно считать, что интенсивность света, попадающего в одну щель, в q раз больше интенсивности света, попадающего в другую щель. Чему равно отношение интенсивностей в первых дифракционных минимуме и максимуме?