Тема 8.5. Екстремум ФБЗ.
ВПРАВИ
1. Знайти екстремум функції z(x,y).z=x2–y2+5y+4x, A(2;3), B(2,01;2,98).
Розв'язання. Стаціонарні точки функції z(x,y):
C(-2; 2,5)
Використовуючи достатню умову екстремума, визначаємо, чи є вона точкою екстремуму:
,
- визначник від’ємний, екстремуму функція z(x,y) не має.
2. Знайти найбiльшi i найменшi значення функцiї
Z=3x2+3y2-2x-2y+2 в трикутнику, обмеженому прямими
x=0; y=0; x+y-1=0.
Розв`язання.
1) Знайдемо стацiонарнi точки цiєї функцiї, для чого
знайдемо частиннi похiднi:
Прирiвнюємо їx до нуля: 6x-2=0;
6y-2=0;
Ця точка лежить в трикутнику.
Обчислимо значення функцiї в цiй точцi:
Дослiдимо функцiю на границях областi (cторонах три-
кутника).
На прямiй x=0 вираз для функцiї буде: z=3y2-2y+2.
Знаходимо
Ця точка лежить на сторонi трикутника i знаходимо зна-
чення функцiї
На прямiй y=0 вираз для функцiї буде:
z=3x2-2x+2.
Ця точка лежить на сторoнi трикутника, знаходимо
значення функцiї:
На прямiй x+y-1=0; y=1-x i вираз для функцiї буде:
z=3x2+3(1-x)2-2x-2(1-x)+2=3x2+3-6x+3x2-2x-2+2x+2=
= 6x2-6x+3.
Знаходимо
Точка лежить на сторонi трикутника, обчислимо
значення функцiї в цiй точцi:
Вершинами областi являються точки(0;0);(0;1);(1;0).
Обчислимо значення функцiї в вершинах областi:
z(0,0) = 2; z(0;1)=3 . 0+3 . 12-2 . 0 –2 . 1+2=3.
z(1;0)=3 . 12+3 . 0-2.1-2 . 0+2=3.
Отже, найменше значення функцiя приймає в точцi
найбiльше значення в двох точках
z(0,1)=z(1,0)=3.
Вiдповiдь: найменше
Найбiльше