Б.6.2 Четырехмерный вариационный анализ

Позволяет ассимилировать синоптические измерения в моменты времени отличные от времени анализа. Четырехмерность 4D-Var отражает тот факт, что при анализе учитывается распределение измерений не только в пространстве, но и во времени. Основная идея заключается в том, что оптимальный анализ должен соответствовать не только самим измерениям, но и их изменчивости во времени, которая определяется физическими законами и описывается модельными эволюционными уравнениями. Подобный оптимальный анализ, по сути, представляет собой обратную задачу. Действительно, гидродинамическая модель создается для решения прямой задачи, что означает, что если задать начальные условия и применить к ним модельные уравнения, то мы получим прогноз распределения метеопараметров, которые фактически наблюдаются. Примером такой модели является интерполяция метеорологических параметров (температура, скорости ветра, влажность и др.) с модельной сетки в точки наблюдений и к срокам наблюдений. В зависимости от качества модели и начальных условий подобные «предсказанные наблюдения» могут соответствовать или не соответствовать фактическим наблюдениям. Таким образом, обратную задачу можно сформулировать, как поиск таких начальных условий, которые при использовании данной конкретной модели прогноза погоды дают наилучший прогноз фактических наблюдений. Решить подобную обратную задачу намного сложнее, чем соответствующую ей прямую задачу, т.к. для выбора наилучшего приближения к измерениям нужно несколько раз решать прямую задачу (запускать модель) от меняющихся начальных условий (итерационная процедура).

Рисунок Б1. Модельный прогноз наблюдаемой переменной (кривая). Наблюдения показаны с учетом их неопределенности (вертикальные линии). Четырехмерное усвоение представляет собой подбор таких начальных условий (толстая вертикальная линия в ), стартуя от которых, модель дает наилучшее приближение к наблюдениям (остальные полоски).

Функционал качества

Используемый в вариационном анализе подход заключается в поиске таких начальных условий для модели, которые приводят к минимизации некой скалярной величины , называемой функционалом качества, который представляет собой глобальную меру одновременного расхождения - текущей оценки истинного состояния среды (метеорологических параметров), и двух независимых представлений этой среды. Первое из этих представлений получается по результатам измерений, второе – по результатам моделирования. Последние измерения (в пределах окна ассимиляции) образуют вектор измерений - первое представление. Вектор фонового состояния , относящийся к моменту времени , образует второе представление.

Традиционная форма функционала качества, как и в трехмерном вариационном анализе

Первая часть функционала качества, соответствующая минимизации расхождения с модельными расчетами такая же, как в трехмерном вариационном анализе. Во второй части, соответствующей минимизации расхождения результатов анализа с наблюдениями, появилась зависимость от времени. Для учета изменчивости анализируемой метеорологической величины во времени используется модельный оператор

,

действующий последовательно от момента времени до момента времени с шагами . Следующий рисунок иллюстрирует последовательность решения прямой задачи с использованием модели.

Рисунок Б2. Иллюстрация решения прямой задачи.

Оператор модели используется для расчета эволюции анализируемой величины во времени, тогда как оператор наблюдений применяется для каждого состояния модели во времени для предсказания аналога наблюдений, соответствующего данному моменту времени, точке пространства, где фактически находится станция наблюдений в тех единицах, в которых это наблюдение производится. В результате действия этих операторов формируется модельное представление наблюдений, соответствующее каждому моменту времени . Эти значения затем сравниваются с фактическими наблюдениями .

Математически действие операторов моделирования и наблюдений выражается как

что означает, что модельный образ наблюдений в момент времени формируется в результате последовательного воздействия модельного оператора, начиная от начального состояния .

Как модельный оператор, так и оператор наблюдений в общем случае являются нелинейными, хотя оператор наблюдений часто представляет собой простую линейную интерполяцию из узлов модельной сетки в точки, где производятся наблюдения.

Ошибки наблюдений представляются матрицей , на диагонали которой стоят собственно дисперсии ошибок, а вне диагонали - ковариации ошибок в разных точках наблюдений. Т.к. наблюдения обычно не коррелируют друг с другом, эта матрица сводится к диагональной, которую легко можно обратить. Однако, часто наблюдения подвергаются препроцессингу, т.е. предварительной обработке, в результате чего они могут коррелировать друг с другом.

Выраженные в Якобиане чувствительности вычисляются относительно начальных значений в модели, тогда как модель оперирует с моментом времени, на который вычисляются моделируемые характеристики. Соответственно, более естественный Якобиан должен выглядеть как

,

где левая честь относится к тому же моменту времени, что и наблюдения.

С учетом действия модели

,

где элементы матрицы представляют собой .

Подставляя в уравнение для градиента, получаем

В этом уравнении мы линеаризовали сопряженный оператор модели (прямые буквы оператора модели в отличие от наклонных, означающих изначально нелинейный оператор модели). В этом смысле эти операторы представляют собой операторы прогноза возмущений. С учетом того, что производная фактически представляет собой линеаризацию оператора наблюдений, линеаризованный оператор наблюдений можно обозначить прямыми буквами аналогично оператору модели

в отличие от, в общем случае, нелинейного исходного оператора наблюдений, обозначенного наклонной буквой (под знаком производной). Тогда выражение для градиента будет выглядеть как

,

где к последовательности сопряженных операторов временной эволюции, описываемой оператором модели, также применена операция транспонирования по отдельности к каждому из последовательности.