ДОМАШНЯ КОНТРОЛЬНА РОБОТА
З дисципліни Обчислювальна математика та програмування
Тема: Математична обробка експериментальних даних
Роботу виконав
Студент ІХФ гр. ЛЦ-21
Шишкіна С.О.
Перевірив:
К. т. н. доц. Сангінова О. В.
Київ 2012
Зміст
Завдання до ДКР………………………………………………………………………………...3
Вступ……………………………………………………………………………………………..4
1 Для заданої табличнох функції (Додаток 1) виконати наступні дії:
Отримати апроксимуючої функції
1.1. Визначити загальний вид апроксимуючої залежності, побудувавши точковий графік заданої функції;..............................................................................................................................7
1.2. Апроксимувати задану табличну функцію поліномом першого порядку ……………....8
1.3. Апроксимувати задану табличну функцію поліномом другого порядку ………………..9
1.4. Оцінити точність апроксимації …………………………………………………...……...10
1.4.1. обчисливши середню квадратичну похибку; ……………………………………….….11
1.4.2. побудувавши графік отриманих апроксимованих функцій і порівнявши їх з точковим графіком заданої функції… ……………………………………………….………..12
1.5. Зробити висновки …………………………………………………………………...……..12
2. За результатами експериментальних даних (Додоток 2):
2.1. За даними таблиці 2.1 (де хі-варіанти, ni-частоти варіанти хі, (і=1,2,3,4,5)), знайти емпіричну функцію статистичного розподілу (аналітично і графічно)… ……………….16
2.2. За даними таблиці 2.2 (де Ii і-ий інтервал; ni-сума частот варіант, які потрапили в і-тий інтервал):
2.2.1. побудувати гістограми частот та відносних частот; ……………………….….……17
2.2.2. знайти числові характеристики статистичного розподілу:вибіркову середню хВ , вибіркову дисперсію DB, вибіркове середнє квадратичне відхилення σВ; ………...……18
2.2.3. знайти статистичні оцінки генеральної середньої, генеральної дисперсії і генерального середнього квадратичного відхилення …………………..…………………18
2.3. Зробити висновки… ………………………………………………………………………18
3. На а основі експериментальних даних, отриманих для вивчення залежності між випадковими величинами X і Y, і представленими у вигляді кореляційної таблиці (Додаток 3):
3.1. Знайти рівняння прямих ліній регресії X на Y, Y на X …………………..…………..24
3.2. Розрахувати вибірковий коефіцієнт кореляції та оцінити силу зв’язку Y і X ……...24
3.3. Зробити висновки …………………………….…………………………………………24
Список використаної літератури…………………………………………………….…….25
Завдання
Завдання 1. Отримати апроксимуючу функцію:
P | C |
141,1 | |
111,7 | |
86,1 | |
58,4 | |
29,1 | |
9,65 |
1.1. Визначити загальний вид апроксимуючої залежності, побудувавши точковий графік заданої функції;
1.2. Апроксимувати задану табличну функцію поліномом першого порядку.
1.3. Апроксимувати задану табличну функцію поліномом другого порядку.
1.4. Оцінити точність апроксимації
1.4.1. обчисливши середню квадратичну похибку;
1.4.2. побудувавши графік отриманих апроксимованих функцій і порівнявши їх з точковим графіком заданої функції.
Завданняи 2. За результатами експериментальних даних:
2.1. За даними таблиці 2.1 (де хі-варіанти, ni-частоти варіанти хі, (і=1,2,3,4,5)), знайти емпіричну функцію статистичного розподілу (аналітично і графічно).
xi | |||||
ni |
2.2. За даними таблиці 2.2 (де Ii і-ий інтервал; ni-сума частот варіант, які потрапили в і-тий інтервал):
Ii | 2-5 | 5-8 | 8-11 | 11-14 | 14-17 |
ni |
2.2.1. побудувати гістограми частот та відносних частот;
2.2.2. знайти числові характеристики статистичного розподілу:вибіркову середню хВ , вибіркову дисперсію DB, вибіркове середнє квадратичне відхилення σВ;
2.2.3. знайти статистичні оцінки генеральної середньої, генеральної дисперсії і генерального середнього квадратичного відхилення.
Завдання 3. На а основі експериментальних даних, отриманих для вивчення залежності між випадковими величинами X і Y, і представленими у вигляді кореляційної таблиці:
3.1. Знайти рівняння прямих ліній регресії X на Y, Y на X
3.2. Розрахувати вибірковий коефіцієнт кореляції та оцінити силу зв’язку Y і X
Вступ
В даній роботі виконана математична обробка експериментальних даних за допомогою апроксимації функції, статистичного розподілу, а також використовуючи метод лінійної кореляції.
Для визначення виду апроксимуючої функції у завданні І було використано: графічний метод, апроксимація поліномом другого порядку. Для оцінки точності апроксимації розраховано середню квадратичну похибку. Різницю між апроксимуючою та заданою функції можна прослідкувати на побудованих графіках цих функцій.
У завданні ІІ дані статистичного розподілу зображені у вигляді гістограми частот та відносних частот. З допомогою даних було розраховано такі числові характеристики, як вибіркова середня, дисперсія, середнє квадратичне відхилення, знайдено статистичні оцінки генеральної вибіркової середньої, дисперсії.
У завданні ІІІ за даними кореляційної таблиці знайдено рівняння прямих ліній регресії У на Х, та Х на У, а також оцінено силу кореляційного зв’язку.
Теоретичні відомості
Нехай дослідним шляхом отримані значення деякої величини у для заданих значень величини х та подані у вигляді таблиці:
х | х1 | х2 | … | xn |
у | y1 | y2 | … | yn |
Табл. 1.1
Характер функціональної залежності між величинами у та х невідомий; потрібно знайти аналітичний вираз залежності між х та у, який називається емпіричною формулою.
Геометрично задача побудови емпіричної формули полягає в проведенні такої кривої (чи прямої), що була б досить близько розташована до дослідних точок (хі;уі) (і =1, 2, …, n).
Нехай функція y=f(x) задана своїми значеннями , , …, . Потрібно знайти апроксимуючий багаточлен першого степеня:
(1.1)
такий, щоб квадратичне відхилення
(1.2)
було мінімальним.
Середнє квадратичне відхилення обчислюється з формулою:
. (1.3)
Нормальна система для визначення , матиме такий вигляд:
Виконавши найпростіші перетворення, отримаємо
(1.4)
Систему (1.4) зручно розв’язати з використанням формул Крамера. Знайдені значення коефіцієнтів і підставляємо у вираз (1.1) і, отже, одержуємо конкретний вигляд апроксимуючого багаточлена .
На практиці нелінійну залежність у від х часто апроксимують поліномом другого порядку:
, (1.5)
де - коефіцієнти, що підлягають визначенню.
Нормальна система для визначення матиме вигляд:
(1.6)
1.1. Визначення загального виду апроксимуючої функції