2015-08-21
340
При використанні наближених методів передбачається, що система (3.11) представлена у вигляді
x=Bx+d, (3.3)
який називається нормальною формою системи рівнянь.
Процес обчислень у цьому випадку організують у такий спосіб. По тимі або інших міркуваннях вибирається початкове наближення 
до рішення системи. Воно підставляється в праву частину (3.3), отримане значення позначається через 
, приймається як наступне наближення й підставляється в праву частину для одержання 
й т.д. Таким чином, обчислювальний процес описується формулою
(3.4)
і називається ітераційним. Процедура одержання чергового наближення називається ітерацією. Після виконання ряду таких ітерацій одне з наближень і приймається як наближене рішення. Оцінка отриманої при цьому погрішності й питання збіжності послідовності 
розглянемо нижче. Описана процедура наближеного рішення системи рівнянь називається методом простої ітерації.
Модифікацією цього методу є метод Зейделя. Його відмінність полягає в тому, що при одержанні компонентів (до+ 1)-го наближення використовуються отримані на цій же ітерації «поліпшені» значення попередніх компонентів. Математично цей процес описується в такий спосіб
|
|
|
. (3.5)
З метою прискорення збіжності в якості чергової поліпшувати^ся компоненты, що, рекомендується вибирати ту, котрої відповідає найбільше значення модуля нев'язання, тобто значення 
. Це реалізується так. Після одержання до- го наближення формується вектор
,
компоненти якого впорядковуються по убуванню їхніх модулів. Установлений у результаті цього порядок переноситься й на послідовність обчислення компонент (до+ 1)-го наближення за правилами (3.5).
Можна показати, що стаціонарний метод Зейделя (3.5), тобто коли порядок обчислення компонент незмінний, зводиться до методу простої ітерації. Дійсно, позначимо через B1, B2 наступні матриці
, 
Тоді в матричному виді процес (3.5) виглядає так
.
Звідси
и
.
Таким чином, стаціонарний метод Зейделя з матрицею В еквівалентний методу простої операції з матрицею 
.
