Основные подходы к исследованию философии математики

Если обратиться к обзору современных исследований по философии математики, то можно зафиксировать разнообразие подходов. Согласно В.Целищеву, который во многом опирается на перечень Х. Патнэма (п.п. 1 -8) [5], можно выделить следующие концепции/подходы:

1. Логицизм (математика есть логика в чужом одеянии);

2. Логический позитивизм (математические истины суть истины благодаря правилам языка);

3. Формализм;

4. Платонизм (или реализм; см. несколько его разновидностей выше);

5. Холизм (Куайн: математика должна рассматриваться не отдельно, а как часть всей науки);

6. Квазиэмпирический реализм (идея, о том, что есть нечто аналогичное эмпирическому исследованию в чистой математике — не путать с квази-эмпиризмом (см. п.14 ниже), можно рассматривать как натуралистическую версию платонизма);

7. Модализм (Дж. Хеллман, отчасти Х.Филд (см. п. 9 ниже); мы можем переформулировать классическую математику таким образом, что вместо разговора о множествах, числах и других объектах будем просто утверждать возможность или невозможность определенных структур);

8. Интуиционизм;

Дж. Кетланд, в дополнение к списку Х. Патнэма, выделяет еще 4-е направления:

9. Номинализм (Х.Филд);

10. Структурализм (Н.Бурбаки, П. Бенцерраф (как его предтеча); С.Шапиро, М.Резник);

11. Натурализм (П. Мэдди; Дж. Бургесс);

12. Предикативный конструктивизм (или предикативизм; С. Феферман).

В дополнении к этому списку В.А. Бажанов (см. его тезисы на конференцию по фил. математики 2007) выделяет еще несколько «нестандартных подходов в философии математики» (повторения с вышеперечисленными подходами исключены).

13. Социальный конструктивизм истолковывает математику как продукт социальной деятельности, культуры, который изменяется по мере развития общественной практики и/или культуры (Т. Тимошко, Р. Херш, П. Эрнест). Математика в данном подходе рассматривается как эмпирическая наука, достижения которой определяются уровнем социального конструирования и пересматриваются по мере трансформации социальной реальности.

14. Квази-эмпиризм склонен считать, что математика близка по своим методам и методологии к эмпирическому знанию (Дж. Ст. Милль, И. Лакатос, Ф. Китчер).

15.1. Концепции "физиологического"(embodied mind) истолкования математики (Дж. Лакофф, Р. Нюньез, М. Джонсон, К. Девлин). Сторонники этого подхода настаивают, что математика является органичным продуктом развития средств человеческого познания, что она физиологически (даже на уровне структур мозга) предопределена и вытекает из опыта пересчета дискретных объектов

15.2 Подход В.Н Тростникова о нейрофизиологической предопределенности математического познания; несмотря на схожесть с 15.1. "нейрофизиологический" подход концептуально отличен от «физиологического»: он исходит из некоторого рода корреляции математических структур и операций с теми нейрофизиологическими особенностями, которые отличают человеческий мозг, органы зрения и/или элементы т.н. перцептивного пространства.

16 Перспектива оформления своего рода негёделевой философии математики (на основе паранепротиворечивой математики).

В свою очередь «основной» вопрос философии математики «Что такое математика?» может быть специфицирована следующими тремя (под)вопросами:

1. Что собой представляет математические объекты (и какова их специфика)?

2. Каково рода знанием является математическое знание, какова его специфика?

3. Какова специфика математической деятельности в социокультурном аспекте?

Первый вопрос является вопросом об онтологии математики, второй — об эпистемологии, а третий — о прагматике. При этом каждый из последующих вопросов предполагает предыдущий и «включает» в себя его (что можно представить как три вложенные друг в друга круга).

Чуть подробнее остановимся на первых двух вопросах, которые и составляют классическую (фундаменталистскую) философию математики, в то время как третий вопрос отсылает к не-фундаменталистской (социокультурной или «гуманитарной») философии математики.

При ответе на второй вопрос нужно учитывать известную (колмогоровскую) идею о трех периодах развития математики: античном, классическом (нововременном) и современном. В каждом из них математика образует специфический комплекс с другими типами знания: в античную — метафизико–математический, в нововременную — физико–математический, в современную — логико-математический комплексы. Тем самым можно говорить о трех исторических/концептуальных «образах» математики. Для каждого из них сформулированные выше «основные» (под)вопросы философии математики будут решаться по-разному.

Вместе с тем, выделенные выше «образы» математики характеризуют диалектику развития математического знания. Можно говорить об определенном сходстве первого и третьего «образов» (что обусловлено сходством метафизики и логики): математические объекты (например и прежде всего, числа как парадигмальный математический объект) выступают здесь в противоположность конкретным физическим вещам и процессам как абстрактные объекты.

Последнее и представляет основной тезис нашего понимания математики: математика представляет собой «работу» с абстрактными объектами. Этот тезис задает не только специфику объектов математического рассуждения (онтология), но и специфику математического знания (эпистемология): математика принципиально отличается от физики, она конституирована по-другому. В зависимости от понимания того, что собой представляет абстрактные объекты, разным образом решается вопрос о доступе к этим объектам. Так, если мы понимаем абстрактные объекты как указание на платоновские сущности (эйдосы), то нам необходимо постулировать особую интеллектуальную интуицию для их схватывания (типа эйдетической интуиции Гуссерля).

Сформулированный выше тезис о специфике математики как работе с абстрактными объектами (и решение проблемы эпистемологического доступа к ним) позволяет дать упорядоченную (целостную) картину перечисленных выше концепций философии математики: каждая из концепций должна определить свое отношение 1. к онтологическому статусу математических объектов (1 подвопрос; + дать свое решение проблемы универсалий) и эпистемологическомук статусу математического знания (2 подвопрос). Так, например, три основных программы обоснования математики (логицизм, интуиционизм, формализм) по сути дела представляют разные варианты решения проблемы универсалий: логицизм соответствует реализму (платонизму), формализм — номинализму, а интуиционизм — концептуализму.