Семестр V

ПИТАННЯ ЕКЗАМЕНАЦІЙНОГО КОНТРОЛЮ

з дисципліни: «Математичний аналіз»

Спеціальність: 5.04030101 «Прикладна математика»

Освітньо-кваліфікаційний рівень: молодший спеціаліст

Галузь знань: 0403 «Системні науки та кібернетика»

Семестр V

1. Дійсні числа. Числові множини.

2. Поняття множини. Операції над множинами.

3. Поняття множини. Властивості операцій над множинами.

4. Числова послідовність, підпослідовність.

5. Границя послідовності.

6. Основні властивості границь числових послідовностей.

7. Число .

8. Обчислення границь числових послідовностей.

9. Поняття функції.

10. Класифікація функцій.

11. Загальне поняття границі функції в точці та його окремі випадки.

12. Основні властивості границь функцій.

13. Нескінченно малі та великі функції, їх порівняння та застосування.

14. Дві істотні границі та наслідки з них.

15. Поняття неперервної функції та її властивості.

16. Одностороння неперервність.

17. Точки розриву функції та їх класифікація.

18. Поняття похідної та диференціалу. Похідні основних елементарних функцій.

19. Диференціювання складної функції. Похідні основних елементарних функцій.

20. Похідні та диференціали вищих порядків. Формула Лейбніца.

21. Правила розкриття невизначеностей: правила Лопіталя.

22. Формули Тейлора та Маклорена.

23. Ознаки монотонності функції.

24. Екстремум функції.

25. Умова опуклості або угнутості кривої.

26. Асимптоти кривої. Побудова графіка функції.

27. Застосування правил Лопіталя до обчислення границь функцій.

28. Необхідні та достатні умови екстремуму функції.

29. Розкладення за формулою Маклорена деяких елементарних функцій.

30. Розкладення за формулою Тейлора деяких елементарних функцій.

31. Поняття первісної функції та невизначеного інтеграла. Таблиця основних інтегралів.

32. Основні методи інтегрування: метод розкладення, метод підстановки (заміни змінної) та метод інтегрування частинами.

33. Поняття визначеного інтеграла. Обчислення визначеного інтеграла.

34. Заміна змінної та інтегрування частинами у визначеному інтегралі. Застосування визначеного інтеграла.

35. Невласні інтеграли першого роду.

36. Невласні інтеграли другого роду.

37. Ознака збіжності невласних інтегралів.

38. Поняття числового ряду та його суми.

39. Основні властивості рядів.

40. Критерій Коші збіжності ряду.

41. Ознаки збіжності додатних рядів: порівняння, Д’Аламбера, Коші, інтегральна ознака Коші.

42. Функціональні послідовності та ряди.

43. Область збіжності функціональних рядів.

44. Дослідження функціональних рядів на абсолютну та рівномірну збіжність.

45. Степеневі ряди.

46. Теореми Коші - Адамара і Абеля.

47. Означення функції декількох змінних. Способи її задання.

48. Границя функції декількох змінних.

49. Неперервність функцій декількох змінних.

50. Частинні похідні функції декількох змінних.

51. Частинний і повний диференціал функції декількох змінних.

52. Означення подвійного та повторного інтегралів. Обчислення подвійного інтеграла.

53. Заміна змінних у подвійному інтегралі.

54. Геометричні та фізичні застосування подвійних інтегралів.

55. Криволінійні інтеграли першого роду.

56. Криволінійні інтеграли другого роду.

57. Похідна за напрямом. Градієнт. Рівняння дотичної площини до поверхні. Рівняння нормалі.

58. Екстремум функції двох змінних.

59. Найбільше та найменше значення функції багатьох змінних у замкненій області.

60. Методи обчислення поверхневих інтегралів.

Викладач _______________ О.О.Ялова

Розглянуто та схвалено

На засіданні циклової комісії «Прикладної математики»,

«Обслуговування комп’ютеризованих інтегрованих і

робототехнічних систем» та науково – природничої підготовки

протокол № ___ від ________ 2012р.

Голова циклової комісії

___________ О.О. Слободяник

ІІ Розв’язати задачі:

1. Користуючись двома істотними границями та наслідками з них, обчислити границю .

2. Знайти масу пластини , заданої нерівністю , з густиною .

3. Знайти інтеграл .

4. Знайти радіус, інтервал та область збіжності даного степеневого ряду, дослідивши його поведінку на кінцях інтервалу збіжності

5. Дослідити на збіжність даний невласний інтеграл, та знайти його значення у випадку збіжності .

6. Обчислити повторні границі та , якщо , , .

7. Знайти площу фігури, обмеженої параметрично заданою кривою , ; , .

8. Знайти похідну даної функції, заданої параметрично .

9. Обчислити границю функції .

10. Обчислити об’єм тіла, отриманого обертанням навколо осі криволінійної трапеції, обмеженої лініями , та віссю

11. Довести дане твердження або показати, що воно є неправильним

(А|B)|C=(A|C)|(B|C).

12. Обчислити криволінійний інтеграл , якщо − від точки до точки у від’ємному напрямку.

13. Знайти об’єм тіла, яке утворюється при обертанні навколо осі фігури, обмеженої заданими лініями , , , .

14. Обчислити границю функції .

15. Записати формулу Тейлора для функції за степенями до члена з : , , .

16. Знайти та зобразити область визначення функції декількох змінних

17. Обчислити криволінійний інтеграл вздовж кривої , кінці якої знаходяться в точках з абсцисами і .

18. Визначити інтервали неперервності функції, дослідити точки і характер розриву, та побудувати її графік

19. Обчислити границю функції .

20. Поміняти порядок інтегрування. Область інтегрування зобразити на малюнку .

21. Знайти похідну даної функції, заданої параметрично .

22. Обчислити подвійний інтеграл переходячи до полярних координат

, .

23. Знайти повторний інтеграл .

24. Користуючись двома істотними границями та наслідками з них, обчислити дану границю .

25. Дослідити на збіжність даний невласний інтеграл, та знайти його значення у випадку збіжності .

26. Користуючись властивостями границь, обчислити дану границю .

27. Дослідити даний ряд на збіжність .

28. Обчислити , якщо область – прямокутник .

29. Знайти об’єм тіла, яке утворюється при обертанні навколо осі фігури, обмеженої заданими лініями , , .

30. Обчислити границю функції .

31. Знайти інтеграл .

32. Знайти область збіжності даного функціонального ряду .

33. Знайти градієнт функції у точці , та похідну у точці за напрямом вектора , якщо , , .

34. Знайти даний інтеграл, скориставшись методом підстановки .

35. Знайти координати центра мас даної однорідної матеріальної дуги , , .

36. За допомогою ознаки Коші дослідити збіжність рядів .

37. Довести дане твердження або показати, що воно є неправильним: (A B)|B=A|B.

38. Використовуючи інтегральну ознаку Коші дослідити ряд на збіжність .

39. Знайти інтеграл .

40. За допомогою ознаки Коші дослідити збіжність ряду .

41. Знайти статичний момент даної однорідної матеріальної дуги , , , відносно координатних віссей.

42. Знайти похідну даної функції, заданої неявно .

43. Обчислити границю функції .

44. Знайти даний інтеграл, скориставшись методом інтегрування частинами .

45. Дослідити даний ряд на збіжність .

46. Використовуючи логарифмічне диференціювання, обчислити похідну даної функції .

47. Знайти інтеграл .

48. Знайти область збіжності даного функціонального ряду .

49. Знайти довжину даної дуги кривої (кардіоїда).

50. Використовуючи логарифмічне диференціювання, обчислити похідні даних функцій .

51. Дослідити функцію на неперервність і з’ясувати характер точок розриву \

52. Обчислити криволінійний інтеграл , де − відрізок прямої від точки до точки .

53. Дослідити даний ряд на збіжність .

54. Обчислити визначений інтеграл

55. Знайти об’єм тіла, обмеженого поверхнями .

56. Дослідити функцію на неперервність і з’ясувати характер точок розриву

57. Знайти подвійний інтеграл , якщо область обмежена лініями , , .

58. Знайти границю функції, використовуючи правило Лопіталя .

59. За допомогою діаграм Ейлера – Венна впевнитись, що для будь – яких множин А, В і С виконується або не виконується така рівність: А|B=A|(A B).