Методы доказательства теорем

Рассуждение с целью обоснования истинности какого-либо утвержде­ния есть доказательство. Существуют различные методы доказательства теорем. Под методом доказательства будем понимать способ связи аргументов при переходе от условия к заключению суждения. Методы доказательства, используемые в школьном курсе математики, можно выделить по двум основаниям: по пути обоснования тезиса (прямое и косвенное); по математическому аппарату, используемому в доказательстве.

К прямым приемам доказательства относятся:

1. Прием преобразования условия суждения (синтетический).

2. Прием преобразования заключения суждения: а) отыскание достаточных оснований справедливости заключения (восходящий анализ); б) отыскание необходимых признаков справедливости суждения с последующей проверкой обратимости рассуждений (нисходящий анализ).

3. Прием последовательного преобразования то условия, то заключения суждения.

К косвенным приемам поиска доказательств относятся:

1. Метод “от противного” (истинность доказываемого тезиса устанавливается посредством опровержения противоречащего ему суждения).

2. Разделительный метод или метод разделения условий (тезис рассматривается как один из возможных вариантов предположений, когда все предположения отвергаются, кроме одного), иначе этот метод называют методом исключения.

К методам доказательства, выделенным по второму основанию, когда способ связи аргументов согласуется с определенной математической теорией в школьном курсе математики, относятся:

1. Метод геометрических преобразований. Э тот метод в школе используется как средство обоснования некоторых отношений между элементами евклидовой геометрии. Состоит он из выполнения последовательности шагов: выбирается геометрическое преобразование, обладающее свойством, которое позволяет обосновать наличие указанного отношения между объектами евклидовой геометрии; выполняется преобразование, при котором один объект переходит в другой; обосновывается наличие указанного отношения между объектами с помощью свойств выбранного геометрического преобразования.

2. Алгебраические методы (уравнений, неравенств, тождественных преобразований).

3. Векторный метод, использующий аппарат векторной алгебры.

4. Координатный метод, Координатный метод - это способ определения положения точки на прямой, на плоскости или в пространстве с помощью чисел (например, в декартовой системы координат ли какой-либо другой). Используя координатный метод, алгебраические уравнения можно истолковать в виде геометрических образов (графиков или фигур) и, наоборот, искать решение геометрических задач с помощью аналитических выражений (уравнений, неравенств или их систем).

При доказательстве математических утверждений используются разные математические методы.

Для того, чтобы учащиеся овладели прямым и косвенным доказательствами, необходимо сформировать у них определенную последовательность умений:

- умение искать доказательство,
- умение проводить доказательство,
- умение оформлять доказательство теоремы.

Вопрос

Перемены, происходящие в современном обществе, требуют ускоренного совершенствования образовательного пространства, определения целей образования, учитывающих государственные, социальные и личностные потребности и интересы. В связи с этим приоритетным направлением становится обеспечение развивающего потенциала новых образовательных стандартов.
Развитие личности в системе образования обеспечивается, прежде всего, через формирование универсальных учебных действий (УУД), которые выступают инвариантной основой образовательного и воспитательного процесса. УУД создают возможность самостоятельного успешного усвоения новых знаний, умений и компетентностей, включая организацию усвоения, то есть умения учиться.
В широком значении термин «универсальные учебные действия» означает умение учиться, т.е. способность субъекта к саморазвитию и самосовершенствованию путем сознательного и активного присвоения нового социального опыта.
В более узком термин «универсальные учебные действия» можно определить как совокупность способов действия учащегося, обеспечивающих его способность к самостоятельному усвоению новых знаний и умений, включая организацию этого процесса.
В основе концепции УУД лежит системно-деятельностный подход, который обеспечивает:
•формирование готовности к саморазвитию и непрерывному образованию;
•проектирование и конструирование социальной среды развития обучающихся в системе образования;
•активную учебно-познавательную деятельность обучающихся;
•построение образовательного процесса с учётом индивидуальных возрастных, психологических и физиологических особенностей обучающихся.
Личностные универсальные учебные действия обеспечивают ценностно-смысловую ориентацию учащихся (умение соотносить поступки и события с принятыми этическими принципами, знание моральных норм и умение выделить нравственный аспект поведения) и ориентацию в социальных ролях и межличностных отношениях.
Применительно к учебной деятельности следует выделить два вида действий:
•действие смыслообразования, т. е. установление учащимися связи между целью учебной деятельности и ее мотивом, другими словами, между результатом учения, и тем, что побуждает деятельность, ради чего она осуществляется. Ученик должен задаваться вопросом о том, какое значение, смысл имеет для меня учение, изучаемый предмет, материал, и уметь находить ответ на него;
•действие нравственно-этического оценивания усваиваемого содержания, исходя из социальных и личностных ценностей, обеспечивающее личностный моральный выбор.
Личностные действия позволяют сделать учение осмысленным, обеспечивают ученику значимость решения учебных задач, увязывая их с реальными жизненными целями и ситуациями. Позволяют выработать свою жизненную позицию в отношении мира, окружающих людей, самого себя и своего будущего.
Регулятивные действия обеспечивают организацию учащимися своей учебной деятельности. К ним относятся:
•целеполагание как постановка учебной задачи на основе соотнесения того, что уже известно и усвоено учащимся, и того, что еще неизвестно;
•планирование - определение последовательности промежуточных целей с учетом конечного результата; составление плана и последовательности действий;
•прогнозирование - предвосхищение результата и уровня усвоения, его временных характеристик;
•контроль в форме сличения способа действия и его результата с заданным эталоном с целью обнаружения отклонений и отличий от эталона;
•коррекция - внесение необходимых дополнений и корректив в план и способ действия в случае расхождения эталона, реального действия и его продукта;
•оценка - выделение и осознание учащимся того, что уже усвоено и что еще подлежит усвоению, осознание качества и уровня усвоения.
•волевая саморегуляция как способность к мобилизации сил и энергии; способность к волевому усилию - к выбору в ситуации мотивационного конфликта и к преодолению препятствий.
Познавательные универсальные учебные действия включают в себя:
•общеучебные,
•логические,
•действия постановки и решения проблем.
Общеучебные универсальные действия:
•самостоятельное выделение и формулирование познавательной цели;
•поиск и выделение необходимой информации; применение методов информационного поиска, в том числе с помощью компьютерных средств;
•структурирование знаний;
•осознанное и произвольное построение речевого высказывания в устной и письменной форме;
•выбор наиболее эффективных способов решения задач в зависимости от конкретных условий;
•рефлексия способов и условий действия, контроль и оценка процесса и результатов деятельности;
•постановка и формулирование проблемы, самостоятельное создание алгоритмов деятельности при решении проблем творческого и поискового характера.
Особую группу общеучебных универсальных действий составляют знаково-символические действия:
•моделирование - преобразование объекта из чувственной формы в модель, где выделены существенные характеристики объекта (пространственно-графическая или знаково-символическая);
•преобразование модели с целью выявления общих законов, определяющих данную предметную область.
Универсальные логические действия включают в себя:
•анализ объектов с целью выделения признаков (существенных, несущественных)
•синтез как составление целого из частей, в том числе самостоятельно достраивая, восполняя недостающие компоненты;
•выбор оснований и критериев для сравнения, сериации, классификации объектов;
•подведение под понятия, выведение следствий;
•установление причинно-следственных связей,
•построение логической цепи рассуждений,
•доказательство;
•выдвижение гипотез и их обоснование.
Постановка и решение проблем это:
•формулирование проблемы;
•самостоятельное создание способов решения проблем творческого и поискового характера.
Коммуникативные универсальные действия обеспечивают социальную компетентность и учет позиции других людей, партнера по общению или деятельности, умение слушать и вступать в диалог, участвовать в коллективном обсуждении проблем, интегрироваться в группу сверстников и строить продуктивное взаимодействие и сотрудничество со сверстниками и взрослыми.
Виды коммуникативных действий:
•планирование учебного сотрудничества с учителем и сверстниками - определение цели, функций участников, способов взаимодействия;
•постановка вопросов - инициативное сотрудничество в поиске и сборе информации;
•разрешение конфликтов - выявление, идентификация проблемы, поиск и оценка альтернативных способов разрешения конфликта, принятие решения и его реализация;
•управление поведением партнера - контроль, коррекция, оценка действий партнера;
•умение с достаточно полнотой и точностью выражать свои мысли в соответствии с задачами и условиями коммуникации; владение монологической и диалогической формами речи в соответствии с грамматическими и синтаксическими нормами родного языка.
Каждый раз, составляя проект очередного урока, учитель задает себе одни и те же вопросы:
•как сформулировать цели урока и обеспечить их достижение;
•какой учебный материал отобрать и как подвергнуть его дидактической обработке;
•какие методы и средства обучения выбрать;
•как организовать собственную деятельность и деятельность учеников.
•как сделать, чтобы взаимодействие всех этих компонентов привело к определенной системе знаний и ценностных ориентаций.
Основной из главных задач учителя является организация учебной деятельности таким образом, чтобы у учащихся сформировались потребности в осуществлении творческого преобразования учебного материала с целью овладения новыми знаниями.
Поэтому для того чтобы сформировать у учащихся любое УУД в образовательной системе предложен следующий путь, который проходит каждый ученик:
•вначале при изучении различных учебных предметов у учащегося формируется первичный опыт выполнения УУД и мотивация к его самостоятельному выполнению;
•основываясь на имеющемся опыте, учащийся осваивает знания об общем способе выполнения этого УУД;
•далее изученное УУД включается в практику учения на уроке, организуется самоконтроль и, при необходимости, коррекция его выполнения;
•в завершение организуется контроль уровня сформированности этого УУД и его системное практическое использование в образовательной практике, как на уроках, так и во внеурочной деятельности.

Рассмотрим, как происходит формирование универсальных учебных действий на одном из уроков геометрии в 9 классе по теме «Решение треугольников».

Цель урока: изучить алгоритм «Решение треугольников», ознакомиться с примерами решения различных типов задач по данной теме, научить применять полученные знания для решения практических задач.
Задачи:
Обучающие:
•формирование первоначальных представлений о решении треугольников;
•приобретение опыта применения теоремы синусов и косинусов для решения треугольников.
Развивающие:
•умение определять понятия, создавать обобщения, устанавливать причинно-следственные связи, строить логическое рассуждение и делать выводы;
•умение создавать, применять и преобразовывать знаки и символы для решения учебных и познавательных задач;
•умение оценивать правильность выполнения учебной задачи, собственные возможности ее решения.
Воспитательные:
•формирование ответственного отношения к учению, готовности и способности обучающихся к саморазвитию и самообразованию на основе мотивации к обучению и познанию;
•формирование целостного мировоззрения;
•формирование коммуникативной компетентности в общении и сотрудничестве со сверстниками.

Тип урока: изучение нового материала.
Формы работы учащихся: фронтальная, индивидуальная, групповая
Необходимое техническое оборудование: компьютер, мультимедиа проектор, ПК на каждого ученика.
Структура и ход урока

№	Этап урока	Название используемых ЭОР	Деятельность учителя	Деятельность ученика	УУД	Время
	Организа-ционный момент		Проверяет домашнее задание. Объявляет тему урока	Сообщают о готовности к уроку и наличии домашнего задания	Умение осознанно и произвольно строить речевое высказывание в устной форме	2 мин
	Актуали-зация знаний	Презентация «Теорема косинусов».ЭОР информацион-ного типа «Решение треугольников. Метрические соотношения в треугольнике», сцена 1,2,3,4	Задаёт вопросы, комментирует и корректирует ответы	Отвечают на вопросы учителя по материалу прошлого урока	Анализ, построение логической цепи рассуждений, доказательство	5мин
	Постано-вка целей урока	ЭОР практического типа «Решение треугольников. Метрические соотношения в треугольнике», сцена 1	Задаёт вопросы. Комментирует ответы, предлагает сформулиро-вать цель урока	Отвечают на вопросы учителя, формулируют цель урока	Целеполагание, подведение под понятия	3 мин
	Новый материал	Презентация «Решение треугольни-ков». ЭОР практического типа Сцены 2, 4, 5. Воспроизведение на экране	Объясняет новый материал, отвечает на вопросы учеников	Записывают тему, воспринимают новую информацию, отвечают на вопросы учителя	Элементы волевой саморегуляции, знаково-символические действия, выбор наиболее эффективных способов решения задач в зависимости от конкретных условий	7 мин
	Первичная проверка знаний	ЭОР контрольного типа. Сцены 1, 2. 3 Воспроизведение на экране	Задаёт вопросы. Комментирует и корректирует ответы	Отвечают на вопросы модуля. Решают поставленные задачи	Извлечение необходимой информации из прослушанных текстов, анализ, синтез,установление причинно-следственных связей	3 мин
	Закрепление знаний	ЭОР контрольного типа. Модуль 2. Сцены 1-5. Работа на персональных компьютерах.Выполнение теста на компьютере в программе Excel	Наблюдает за работой учащихся. Помогает, при необходимости проверяет ответы. Комментирует ход решения	Отвечают на вопросы модуля. Решение записывают в тетрадь. Выполняют тест на компьютере в программе Excel	Контроль и оценка процесса и результатов деятельности, построение логической цепи рассуждений, применение методов информационного поиска, в том числе с помощью компьютерных средств	18 мин
	Итог урока. Рефлексия. Домашнее задание.	Авторская презентация	Предлагает оценить свою работу на уроке, заполнив таблицу, имеющуюся на слайде презентации.Поясняет домашнее задание	Проводят самооценку, рефлексию. Записывают домашнее задание	Анализ и синтез, рефлексия способов и условий действия	2 мин

Приложение к плану-конспекту урока
«Решение треугольников»
Перечень используемых на данном уроке ЭОР

№	Название ресурса	Тип, вид ресурса	Форма предъявления информации	Гиперссылка на ресурс, обеспечивающий доступ к ЭОР
	Решение треугольников. Метрические соотношения в треугольнике	Информационный модуль	Видеофрагменты	http://www.fcior.edu.ru/card/6067/reshenie-treugolnikov-metricheskie-sootnosheniya-v-treugolnike.html
	Теорема косинусов	Мультимедиа	Презентация	http://school-collection.edu.ru/catalog/res/5bcf61db-629d-4ef6-967c-abe3f9b60fcd/view/
	Решение треугольников	Мультимедиа	Презентация	http://school-collection.edu.ru/catalog/res/d95748b7-adb9-4167-ad92-8d6144207eb9/view/
	Решение треугольников. Метрические соотношения в треугольнике	Практический модуль	Видеофрагменты	http://www.fcior.edu.ru/card/12744/reshenie-treugolnikov-metricheskie-sootnosheniya-v-treugolnike.html
	Решение треугольников. Метрические соотношения в треугольнике	Контрольное задание из трех сцен	Видеофрагменты	http://www.fcior.edu.ru/card/11810/reshenie-treugolnikov-metricheskie-sootnosheniya-v-treugolnike.html
	Тест к уроку	Интерактивное задание	Тест	http://schools.keldysh.ru/bb-12/test.zip

11 вопрос

Математическая речь является средством выражения математических мыслей, их образования и развития. Она подчиняется всем правилам речи, которые вы знаете из русского языка. Развитая речь - это содержательная, связная и правильная речь, это умение грамотно излагать полученные знания и выражать свои мысли.

Развитие речи - это повседневная работа над речью на всех уроках. Труднее это дается на уроках математики. Если в разговорной речи мы оперируем обще употребляемыми терминами, то на уроках математики � в основном только терминами математики, причем, некоторые из них мы в обыденной жизни не употребляем (гомотетия, дифференцирование и т.п.). Поэтому, для развития математической речи нужна специальная и кропотливая работа. Следует помнить, что развитие мышления невозможно без развития речи. И наоборот: развивать речь без развития мышления � это значит, прежде всего, воспитывать болтливость, умение говорить, не заботясь о содержании.

Как известно, речь делится на устную и письменную, которые должны удовлетворять следующим требованиям.

1. Речь должна быть содержательной. Нельзя говорить о чем-либо, если вы плохо о нем знаете. Надо говорить о конкретных вещах и явлениях.

2. Речь должна отличаться логичностью, которая проявляется в последовательном изложении мыслей. Последовательно изложить мысли - это значит связно изложить по плану. Ответы составляются по определенному плану: либо предложенному учителем или учебником, либо составленным самостоятельно. Предложения должны быть расположены последовательно и связно соединены. Важно, чтобы не было в устных ответах и записях пропусков существенно важных действий, фактов, чтобы не было повторений, противоречий и чтобы связь была выражена не только внешне, но и по существу. Если говорите "следовательно", то это значит, что мысль должна действительно вытекать из предыдущих мыслей.

3. Речь должна быть ясной, т.е. такой, чтобы она могла быть понята одинаково всеми и без особых затруднений. Этому способствуют чистота и правильность речи.

4. Речь должна быть точной, т.е. по возможности правдиво изображать явление, верно передавать содержание прочитанного.

Виды математической речи можно представить в виде следующей таблицы, где каждый вид к тому же разбит на конкретные приемы для их развития.

Рассмотрим на простейших примерах приемы развития устной математической речи.

Работа над звуковой стороной речи сводится к формированию правильного произношения и выразительного чтения математических терминов и любого задания. Для успешного решения этой задачи надо следить, прежде всего, за речью учителя, а затем за своей речью.

Выполните следующие упражнения:

1. Прочитайте слова, соблюдая ударения: километр, миллиметр, выражение, вычислить, сложить, наименование и т.п.

2. Прочитайте правильно: прибавить к 95, вычесть из 89, к 139 прибавить 324 и т.д.

3. Пример 25-12 Коля прочитал так: "Из двадцать пять вычесть двенадцать". Прав ли он?

Словарная работа на уроках математики сводится к пониманию и умению объяснять значение математических терминов, усвоению их правильного написания и формированию умений составлять содержательное связное высказывание. С этой целью полезно выполнить упражнения следующих видов.

1. Упражнения на объяснение значений математических терминов:

1) объясните значение слов и выражений: функция, аргумент, равенство, разрядное число, разрядные слагаемые, геометрия.

2) математическое выражение 18 � 4 Сережа прочитал: "18 взять 4 раза". Правильно ли он прочитал это выражение?

3) выполнив действие 18+2=20, Наташа ответила: "У меня получилось 20, я сосчитала правильно". Правильно ли она сказала?

2. Упражнения на правильное написание терминов:

1) запишите слова, вставив пропущенные буквы: нум.рация, выч.таемое, ед.ница, кил.грамм, п.добие, тр.угольник.

2) исправьте ошибку в записи слов: вычеслить, дилить, слажить, сенус, катангенс, праизводная.

3. Упражнения на составление правильных связных высказываний:

1) прочитайте предложения, вставив пропущенные слова: "От... слагаемых...не изменится", "Чтобы к числу прибавить сумму, можно к числу прибавить... слагаемое, а потом к полученному результату...

.... слагаемое";

2) используя данные слова и выражения, составьте известное вам правило: слагаемое, сумма, найти, вычесть, неизвестное, слагаемое, другое, чтобы, надо, из.

Формирование культуры математической речи сводится к устранению грамматических и математических ошибок, таких речевых недостатков, как неточность и бедность речи, употребление лишних слов, неправильный порядок слов в предложении и т.п.

На этом этапе работы по развитию речи достигается ясность и точность речи. Полезны упражнения следующего вида.

1. Упражнения на устранение грамматических и математических ошибок:

1) устраните математические ошибки в тексте: "Чтобы найти неизвестное число в выражении х+2=8, надо к 8 прибавить 2";

2) на вопрос учителя Коля ответил так: "При прибавлении к цифре 5 числа 4 будет 9".Какие ошибки допустил Коля?

3) Сережа, решая уравнение 8-х=3, рассуждал так: "Чтобы найти х, надо из большего числа (8) вычесть меньшее (3) и получим х: х=8-3, х=". Правильно ли рассуждал Сережа?

2. Упражнения на устранение речевых недостатков подбираются в основном такие же, как и на уроках чтения, только используется математический материал. В частности, полезны такие упражнения:

1) устраните недостатки в объяснении ученика, если его ответ на вопрос "Как сложить числа 25 и 8?" был таким: "К 25 надо прибавить сумму чисел 5 и 3. Заменим второе число 8 суммой удобных слагаемых 5 и 3. Удобнее к 25 прибавить первое слагаемое 5, получим 30. К полученной сумме прибавим второе слагаемое 3, т.е. 25+(5+3)=(25+5)+3=33";

2) пример 295+12=307 Коля прочитал так: "К двести девяносто пять прибавим 12 и получим триста семь". Правильно ли он прочитал?

Развитие связной математической речи осуществляется в соответствии с требованиями к развитию речи на уроках литературы. Полезны, в частности, упражнения следующего вида:

11. Составьте текст, используя набор слов и выражений:

1) чтобы, на, произведение, двух чисел, это, умножить, число, можно, умножить, первый, число, на, множитель, число, на второй, и,

полученное, умножить, множитель;

2) 4·(2·3); тогда (4·2)·3; 24; =; 8 ·3; =;

2. Прочитайте данные предложения в таком порядке, чтобы получилось связное объяснение:

"Значит; 48:4=12; это число 12; разделить 48 на 4 значит найти число; которое при умножении на 4 дает 48".

3. Закончите объяснение: "Чтобы разделить число 12 на произведение 3·2, можно 12 разделить на... и...".

Приемы развития письменной речи покажем на примере оформления решения задачи. При этом помните: нужно не только учиться правильно мыслить, но и правильно говорить, писать коротко и ясно. Это самый лучший способ лечения "болезни" под названием "Знаю, но рассказать не могу".

1. Оформление в виде связного текста.

Задача. Первую половину рукописи машинистка перепечатывала по 6 страниц в час, а вторую половину - по 12 страниц в час. Сколько страниц в среднем печатала машинистка за 1 час?

Решение. На каждый 2 страницы рукописи (одну из первой половины рукописи, а другую - из второй половины) машинистка затрачивала час, а всего за один час в среднем перепечатывала 2·4 = 8 страниц.

2. Оформление в виде рисунка.

Задача. Взяли 6 листков бумаги и некоторые из них разорвали на 7 частей; некоторые из получившихся листков снова разорвали на 7 частей и т.д. несколько раз. Сосчитав общее число получившихся листков бумаги, установили, что их 67. Как показать, что произошла ошибка при подсчете?

Оформим решение в виде рисунка:

Ответ: ошибка при подсчете.

3. Оформление в виде схематического решения - рисунка.

Задача. Покажите, что 6 достаточно круглых, не отточенных карандашей можно расположить так, чтобы любые два из них соприкасались друг с другом.

Решение (рис.17):

Рис.17

Решение оформлено в виде схематического решения - рисунка.

4. Оформление в виде схемы,

Задача. Из Москвы в Астрахань каждый день в 12.00 ч отправлялся теплоход, который находился в пути 4 суток. Из Астрахани в Москву ежедневно в 12.00 также отправлялся теплоход, который находился в пути 5 суток. Сколько теплоходов Астрахань-Москва встречали теплоход, отправлявшийся из Москвы, в течение всего пути?

Рис.18

Решение оформлено в виде схемы (рис.18). Ответ: 10 теплоходов.

5. Оформление в виде содержательной схемы.

Задача. Колхознику необходимо прибыть в пункт, находящийся на расстоянии 134,7 км от его дома. 2,4 часа он ехал на автобусе со скоростью 55 км/ч, а остальную часть пути он шел пешком со скоростью 4,5 км/ч. Сколько времени он шел пешком?

Решение этой задачи оформлено в виде содержательной схемы.

Ответ: 0,6 часов.

6. Оформление с применением символики.

Задача. По дороге шли два отца, два сына и дедушка с внуком.

Сколько человек шли по дороге?

Одно из возможных решений, оформленное с применением символики, выглядит так:

{д, о} U {o, c} U {д, с} = {д, o, c}, где U - обозначение объединения множеств.

Обозначили: д - дедушка, о - отец, с - сын. Ответ: 3.

7. Оформление с помощью схемы графа.

Задача. Сколько всевозможных примеров на деление (без остатка) можно составить с числами 12, 26, 4, 96, 13, 78 и 3?

Решение, оформленное с помощью особой схемы - графа выглядит так (рис.19):

Каждая выходящая стрелка - один пример. Петля при вершине графа означает примеры вида 12:12.

Рис. 19

Ответ: 16 примеров.

8. Оформление в виде таблицы.

Задача. Ходжа Насреддин расплачивался за ночлег в харчевне с ее хозяином ежедневно одним звеном золотой цепочки из семи одинаковых звеньев, чтобы не терять лишнее золото при распиливании, хозяин поставил Ходже условие: распилить только одно звено цепочки. Ходжа Насреддин с этим условием согласился и сумел его выполнить. Как он это сделал?

Решение, оформленное в виде таблицы 2:

Дни	Отдал n-е звено	Получил n-е звено
	n=5 n=6,7 n=5 n=1,2,3,4 n=5 n=6,7 n=5	- n=5 - n=5,6,7 - n=5 -

Таблица 2.

Мы показали способы решения задач, используя книгу Ю.М. Колягина, В.А. Оганесяна "Учись решать задачи", М., Просвещение, 1980 г. Имеются еще и другие способы оформления, вы с ними встречаетесь при выполнении упражнений. Главное для каждого - уметь выбирать наиболее удобный способ оформления математических записей.